14. Théorie des imaginaires de von Staudt. 
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Quant à la „droite imaginaire de seconde espèce“ il la définit par 
l’ensemble d’une involution elliptique sur un système réglé et d’un 
sens déterminé sur ce dernier. Les deux éléments imaginaires consti 
tués par une même involution avec les deux sens différents sur la forme 
à laquelle l’involution appartient s’appellent „conjugués“. 
Soient AA X ,BB X deux couples quelconques de l’involution ellip 
tique; les deux sens différents sont alors les sens ABA X , AB X A X , 
et les éléments imaginaires conjugués correspondants sont repré 
sentés respectivement par les séries d’éléments ABA X B X et AB X A X B. 
Si les couplet AA X , BB X sont harmoniques, la représentation s’ap 
pelle aussi harmonique. Parmi les représentations d’un élément imagi 
naire déterminé, qui ont un premier élément donné A, il y en a tou 
jours une et une seule qui soit harmonique. 
La théorie de K. G. Chr. von Staudt est donc une théorie des in- 
volutions et des sens dans les formes de rang un; les théorèmes qui 
s’y rapportent pourraient être énoncés en parlant uniquement de points, 
de droites et de plans réels. 
L’incidence des éléments réels et imaginaires, ainsi que des élé 
ments imaginaires entre eux, est définie de telle façon que tous les 
théorèmes concernant la détermination unique et les intersections de 
droites et de plans subsistent également dans le domaine imaginaire. 
K. G. Chr. von Staudt appelle jet ( Wurf) l’ensemble de quatre 
éléments d’une forme de rang un, considérés dans un ordre déter 
miné * 101 ). Deux jets correspondants dans deux figures projectives s’ap 
pellent aussi projectifs ou égaux. En partant de définitions appro 
priées pour les opérations fondamentales K. G. Chr. von Staudt 102 ) 
développe un „calcul des jets“ et fait correspondre à chaque en 
semble de jets égaux entre eux un nombre 103 ) qui se confond avec 
points sont en même temps les points bases du faisceau de cercles qui a Taxe 
des x pour axe central et qui découpe sur la droite l’involution proposée. 
Décrivons autour de ces points ajrbi deux cercles dans le même sens, par 
exemple dans le sens des aiguilles d’une montre, et étendons par voie de con 
tinuité le sens des cercles à l’axe des x; nous obtiendrons sur celui-ci les deux 
sens opposés. 
*(7. Stephanos [Bull. sc. math. (2) 7 (1883), p. 204/14] a tenté de justifier la 
théorie de K. G. Chr. von Staudt par des considérations de nature essentiellement 
différente (Note de G. Loria).* 
101) *On a employé aussi le mot quaterne [cf. III 1, 26] et les mots groupe, 
homozygie [cf. C. Stephanos, Math. Ann. 22 (1883), p. 313].* 
102) Beiträge zur Geometrie der Lage, fase. 2, Nuremberg 1857, p. 166 et, 
plus généralement § 19 à 21. 
103) Id. fase. 2, p. 259 (§ 27 et 28). 
Encyclop. des scienc. mathémat. III 1. 
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