16. Développement de la théorie des imaginaires. 
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déterminé, peut servir de représentation à un de ces points imaginaires, 
tandis que son conjugué sera représenté par le même cycle parcouru 
en sens opposé. Le cas le plus simple correspond à n = 3, puisque 
tout système de trois points d’une droite se correspond à lui-même 
dans une homographie cyclique, et cela d’une seule façon 109 ). Le point 
imaginaire est alors représenté par trois points réels quelconques d'une 
droite réelle pris dans un certain ordre, c’est-à-dire par un terne 
ahc = hca = cal), 
tandis que son conjugué est 110 111 ) 
bac = a ch = cha. 
Cet ensemble de trois points pris dans un ordre déterminé con 
tient déjà tout ce qui est nécessaire à la représentation du point ima 
ginaire et rien de plus, les trois points a, h, c pouvant être pris d’une 
façon quelconque sur la droite. 
La notion de „séries cycliquement projectives“ comprend aussi la 
représentation harmonique de K. G. Chr. von Staudt pour les éléments 
imaginaires. Soit en effet abcd une telle représentation5 les deux couples 
ac,hd sont alors harmoniques, et il s’ensuit que l’on a, en représentant 
la projectivité par le symbole A, 
abcd A udch A bcda-, 
¿1 existe donc une relation homographique admettant les quatre couples 
{ah), (hc), (cd), (do)*: c’est donc enfin que a, h, c, d déterminent une série 
cycliquement projective du quatrième ordre. 
Deux travaux de J. Lüroth m ) marquèrent un nouveau progrès 
dans la théorie des imaginaires. Dans le premier, J. Lüroth montra 
que le calcul des jets introduit par K. G. Chr. von Staudt peut être 
perfectionné et généralisé, en sorte que le théorème fondamental de 
l’algèbre s’étende à une équation algébrique où l’inconnue est un jet, 
seconde ... A un point b n _, considéré comme appartenant à la première corres 
pondra un point b n de la seconde. Si, quel que soit le point a, de la première 
division, le point b n se confond avec le point a,, les deux divisions forment 
une projectivité cyclique d’ordre n* 
109) Pour n = 2 il se correspond à lui-même d’une infinité de manières; 
ce cas ne conviendrait donc pas à la représentation de F. Klein. 
110) Analytiquement, ces deux points imaginaires conjugués sont représentés 
par le covariant de L. O. Hesse de la forme cubique qui représente le terne abc 
[Math. Ann. 22 (1883), p. 245]. 
111) Das Imaginare in der Geometrie und das Rechnen mit Würfen [Math. 
Ann. 8 (1875), p. 145; 11 (1876), p. 84]. Cf. aussi un article précédent, Nachr. 
Ges. Gott. 1873, p. 767/79 [III 1, 26]. 
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