18. Étude directe des figures hyperalgébriques. 
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Comme conséquence immédiate de l’introduction des éléments et 
des nombres bicomplexes, nous ne sommes plus tenus de nous borner 
aux figures g k de la forme fondamentale F dont les représentations 
correspondantes G k dans & 2r sont réelles; nous pouvons choisir à 
l’intérieur de <& 2r des figures complexes quelconques (en particulier 
algébriques) et étudier leurs représentations dans F; elles seront bi- 
complexes (en particulier hyperalgébriques). Nous arrivons ainsi à 
une „Géométrie bicomplexe générale“ qui s’ajoute comme un troisième 
degré à la géométrie „réelle“ et à la „géométrie complexe“. 
On se rend compte aussi qu’un passage comme celui des élé 
ments et nombres complexes aux bicomplexes, et de la géométrie com 
plexe à la géométrie bicomplexe, est susceptible d’être répété autant de 
fois qu’on le veut. 
18. Étude directe des figures hyperalgébriques; leur relation 
avec les formes d’Hermite. G. Segre 12d ) a étudié les configurations 
hyperalgébriques directement, au lieu de prendre pour point de départ 
leurs représentations réelles; et cela aussi bien analytiquement, c’est-à- 
dire par leurs équations, que par des considérations synthétiques; il 
s’est attaché surtout aux configurations qui peuvent être engendrées 
par des correspondances hyperalgébriques, en particulier par les corres 
pondances „antiprojectives“ qui jouent un rôle tout à fait analogue 
aux projectives. 
Une correspondance univoque et continue entre deux configura 
tions complexes de rang un, qui fait correspondre à tout jet harmo 
nique un jet harmonique, n’est pas nécessairement homographique, 
puisqu’elle peut transformer un jet non „neutre“ (c’est-à-dire non réel) 
en un jet de sens contraire (c’est-à-dire en son imaginaire conjugué) 129 130 131 ). 
Dans ce cas la correspondance s’appelle antiprojective r,A ). De même, 
nombres complexes de la forme a-\-bs considérées comme coordonnées homo 
gènes avec l’hypothèse g* = 0 [Geometrie der Dynamen, Leipzig 1903, p. 199 et 
suiv. ; cf. article III 5]. Voir aussi J. Grünwdld, Über duale Zahlen und ihre 
Anwendung in der Geometrie [Monatsh. Math. Phys. 17 (1906), p. 81]. 
129) Un nuovo campo di ricerche geometriche [Atti Accad. Torino 25 
(1889/90), p. 276, 430, 592; 26 (1890/1), p. 35]. 
130) K. G. Chr. von Staudt, Beitriige zur Geometrie der Lage, fase. 2, Nurem 
berg 1857, p. 147, § 16 (n° 225). 
131) Sur la droite complexe il n’y a donc, en dehors des correspondances 
projectives et antiprojectives, aucune correspondance continue transformant les 
jets harmoniques en jets harmoniques. La question de savoir si la continuité 
de la relation peut aussi dans le domaine complexe se déduire de la propriété 
harmonique a été soulevée par G. Segre [Atti Accad. Torino 25 (1889/90), p. 288], 
mais elle est jusqu’ici restée sans réponse.