222 G. Fano. III3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
A. F. Möbius™) a considéré les courbes décrites par un point 
variable 
fA + g F A hC, 
où f, g, h désignent des fonctions entières quelconques de degré n d’un 
même paramètre. Mais dans le cas où n > 2, ces courbes ne sont pas 
les courbes les plus générales d’ordre n, comme A. F. Möbius l’a 
d’ailleurs reconnu lui-même; on n’obtient ainsi, en effet, que des courbes 
rationnelles [III 20 et III 21]. 
La théorie générale analytique des courbes planes algébriques 
remonte à J. Plücker. C’est à lui que l’on doit la notion d’équation 
d’une courbe en coordonnées tangentielles 85 ). Il a donné aussi 157 158 ) une 
théorie complète et une classification des courbes planes du troisième 
ordre ainsi que des indications sur les courbes de troisième classe + (la 
notion de classe avait été introduite par J. T>. Ger gönne)* ‘ on y voit 
déjà une méthode générale pour étudier les courbes d’ordre supérieur, 
au sujet desquelles il établit 159 ) quelques théorèmes généraux, entre 
autres celui qui concerne le nombre des points d’inflexion d’une courbe 
d’ordre n. Il reprit plus tard ces recherches 160 ) et obtint plusieurs 
nouveaux résultats. Nous signalerons surtout ici: 
1°) ses théorèmes sur les points d'intersection 161 ) dans lesquels il 
établit les relations entre les mn points d’intersection de deux courbes 
algébriques d’ordres m et w 162 ), relations dont il se sert pour étudier 
les „branches infinies“ des courbes planes et leurs asymptotes; 
2°) la théorie des points singuliers, en particulier les relations 
entre les nombres des singularités d’une courbe quelconque, auxquelles 
on a donné le nom de formules de Plücker 163 ) ; 
157) Der baryc. Calcul 46 ), p. 80 et suiv.; Werke 1, p. 90 et suiv. 
158) System der analytischen Geometrie, Berlin 1835, troisième partie. 
159) Id. § 6, en partie, p. 264. 
160) Theorie der algebraischen Curven gegründet auf eine neue Behand 
lungsweise der analytischen Geometrie, Bonn 1839. 
161) Alg. Kurven 160 ), p. 7/13 (Einleitende Betrachtungen). Voir aussi Ann. 
math, pures appl. 19 (1828/9), p. 97. 
162) Déjà L. Euler et G. Cramer [cf. Charlotte A Scott, Bull. Amer. math. 
Soc. 4 (1897/8), p. 260/73] avaient abordé cet ordre de recherches que C. G. J. 
Jacobi [J. reine angew. Math. 15 (1836), p. 285; Werke 3, Berlin 1884, p. 329] 
devait reprendre plus tard. 
163) Alg. Kurven 160 ), p. 207 (section 2, § 4). Les formules de Plücker sont 
établies [p. 211 (n° 68 ] dans le cas où la courbe considérée ne possède que des 
points doubles et des points de rebroussement, des tangentes doubles et des 
tangentes d’inflexion; mais il y a déjà quelques indications concernant le cas où 
la courbe possède des singularités d’ordre supérieur.