19. Théorie analytique des courbes planes algébriques. 223 
3°) la discussion et l’énumération des différentes courbes planes 
du quatrième ordre [cf. III 20]. 
J. Plücker n’envisage ordinairement que le „cas général“, et dans 
ses démonstrations il se contente souvent de compter les constantes 
figurant dans les équations envisagées; il faut donc presque toujours 
reprendre et compléter ses démonstrations 164 ). 
Dès 1844, L. O. Hesse 165 ) montra comment on peut se servir 
systématiquement de la théorie des équations algébriques pour établir 
une théorie générale des courbes et des surfaces. L’usage magistral 
qu’il fit des déterminants, que l’algèbre avait désormais à son entière 
disposition, lui permit de donner à toutes ses considérations et dé 
monstrations une élégance tout à fait remarquable. On reconnut ainsi 
qu’un grand nombre de vérités géométriques n’étaient que la traduction 
immédiate de certaines identités algébriques; ce fait a trouvé plus tard 
de nombreuses applications dans la géométrie analytique, et surtout 
dans la théorie des invariants 166 167 ). 
On doit en particulier à L. O. Hesse 161 ) une étude approfondie 
des points d’inflexion et des tangentes doubles des courbes planes 168 ); 
les points d’inflexion y apparaissent pour la première fois comme les 
points d’intersection de la courbe donnée avec sa „hessienne“ dont 
l’équation est obtenue sous la forme bien connue de déterminant 118 ). 
Le traité de G. Salmon 169 ), paru en 1852, a beaucoup contribué à 
164) Au sujet des compléments à apporter aux démonstrations ne reposant 
que sur l’énumération des constantes, voir F. Lasker, Math. Ann. 58 (1904), p. 434. 
165) La plupart de ces articles sont publiés dans le Journal für reine und 
angewandte Mathematik de 1844 à 1860 et sont reproduits dans L. O. Hesse r 
Werke, Munich 1897. 
166) W.F. Meyer [Ueber das Wesen mathematischer Beweise; Verhandl. 139 ) 
3. Math.-Kongresses Heidelberg 1904, p. 667] a récemment appelé l’attention sur 
ce point; et, dans une série de travaux cités dans cet article, il a bien montré 
l’utilité du „principe d’identité“. Voir aussi W. F. Meyer, Monatsh. Math. Phys. 
18 (1907), p. 138; Sitzgsb. Akad. Wien 11611“ (1907), p. 669; Archiv Math. Phys. 
(3) 12 (1907), p. 1, 151; Ber. Ges. Lpz. 59 (1907), math. p. 229. Le principe de 
la méthode consiste à exprimer complètement les propriétés fondamentales de 
certaines figures par des identités, en particulier par l’évanouissement identique 
d’invariants simultanés des éléments donnés. L’avantage de cette méthode dont 
la portée est bien plus grande que celle de L. O. Hesse, consiste en ce qu’elle 
est applicable à tous les cas particuliers et limites, dans la mesure où ils sont 
compatibles avec les conditions de la figure. 
167) J. reine angew. Math. 41 (1851), p. 276/7; Werke, Munich 1897, p. 268/70. 
168) H- Steiner avait déjà étudié par la géométrie pure les tangentes 
doubles des courbes du quatrième ordre.* 
169) A treatise on higher planes curves, (l re éd.) Dublin 1852; (2° éd.) Dublin