228 6r. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
générale. Après lui, A. Clébsch m ) reprit ces recherches algébricogéomé- 
triques, et se rattachant aux mathématiciens anglais, ayant aussi re 
cours très souvent à la théorie des déterminants (et en particulier au 
théorème de la multiplication des déterminants), il arriva à concevoir 
les problèmes généraux sur les courbes et les surfaces algébriques 
du véritable point de vue de la théorie des invariants. La théorie des 
invariants fournit un principe général, qui avait manqué jusqu’alors, 
permettant de découvrir des vérités géométriques par voie analytique, 
puisqu’elle donne des méthodes générales [Cf. I 11] pour déduire 
d’une forme donnée f ses invariants et covariants; en annulant ceux-ci, 
on obtient exclusivement et complètement les équations qui expriment 
des propriétés projectives de la figure f = 0 et celles qui représentent 
d’autres figures liées projectivement h f= 0 [1115]. 
23. Génération géométrique des courbes et des surfaces par 
Grassmann. Dans la géométrie synthétique, on n’a pu que difficile 
ment s’élever à la notion générale de courbe algébrique; aussi, pen 
dant longtemps, les théories „géométriques“ des courbes et surfaces 
ne furent pas purement synthétiques. Elles furent aussi le plus sou 
vent incomplètes. 
H. Grassmann 191 192 ) remarqua en 1846 que la géométrie projective 
ordinaire suffit bien à la théorie générale des courbes du second ordre, 
mais qu’elle ne suffit plus pour les courbes d’ordre supérieur, parce qu’on 
n’arrive, au moyen de la génération par formes projectives, qu’à des 
courbes particulières. Pour la génération des courbes les plus générales 
d’ordre n il établit le théorème fondamental suivant (énoncé dès 1844 
dans son „Ausdehnungslehre“) [cf. III 19]: 
Si un point mobile X d’un plan se déplace de telle façon qu’un 
point et une droite, déduits de ce point X et d’une série de points 
et de droites fixes par des constructions linéaires, soient incidents (c’est- 
à-dire que le point se trouve sur la droite) le point X décrit une courbe 
algébrique; la courbe est d’ordre n, si dans ces constructions le point 
mobile est employé n fois 193 ). 
Il énonce aussi le théorème par dualité, concernant la génération 
191) Cf. Math Ann. 7 (1874), p. 13 et suiv. 
192) Grundzüge zu einer rein geometrischen Theorie der Kurven mit Anwen 
dung einer rein geometrischen Analyse [J. reine angew. Math. 31 (1846), p. 111; 
Werke 2 1 , publ. par E. Study, G. Scheffers et F. Engel, Leipzig 1904, p. 49]. 
193) Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844; (2 e ed.) Leipzig 1878, 
§§ 145/9; Werke l 1 , publ. par F. Engel, p. 245 et suiv.