8. Droite et plan définis à l’aide de congruences et de mouvements. 15 
8. Droite et plan définis à l’aide de congruences et de 
mouvements. Nous allons maintenant examiner successivement les 
differentes définitions que l’on a données de la droite et du plan. 
Les concepts „droite" et „plan" peuvent être pris comme concepts 
primitifs, mais ils peuvent aussi être définis à l’aide des concepts 
congruence et mouvement. 
Euclide 43 ) définit 44 ) ainsi la droite: 
£v&da ygagur] sôtlv, ijrtg i'Oov xolg ècp êavxrjg Grgidoig xstxca. 
Proclus 45 ) interprète cette définition en disant que la droite est 
la ligne dont la longueur entre deux points coïncide avec la distance 
de ces deux points, ce qui nous ramènerait à la définition à'Archimède 
que nous allons rencontrer un peu plus loin. 
On adopte plus généralement la traduction que voici 46 ): 
„La droite est la ligne qui s’étend également par rapport à ses 
points", c’est-à-dire la ligne qui est divisée par chacun de ses points 
en deux parties égales 47 ). 
Mais comme l’hélice jouit de la même propriété, il est évident 
que cette propriété, ainsi énoncée, ne peut servir à caractériser la droite. 
G. W. Leibniz 48 ) a considéré la droite comme la ligne qui divise 
43) Elementa, livre 1, défin. 4; Opera, éd. J. L. Heiberg 1, Leipzig 1883, p. 2.. 
*Le véritable sens de cette définition obscure était déjà perdu du temps de 
Proclus. H. G. Zeuthen [Archiv für die Geschichte der Naturwiss. (Leipzig) 1 
(1909), p. 327] la qualifie de définition qui ne dit rien (nichtssagend).* 
44) *La plus ancienne définition de la ligne droite actuellement connue 
est celle de Platon [Hccggsvidijs (Parmenides) éd. H. Estienne 3, Paris 1578, p. 137 r 
passage e; éd. F. Hidot 1, Paris 1891, p. 634 lignes 51/2]: ov ccv rô géaov àgcpolv 
rolv ¿c%ároív ¿níitQoa&sv f¡, formulée ainsi par Proclus: r¡ rà géccc rots axçoiç 
¿TUTCQOG&st, ce qu’on pourrait traduire par: „la droite est une ligne dont le milieu 
obscurcit les deux extrémités“ c’est-à-dire dont le milieu et les deux extrémités 
sont situés sur le même rayon visuel. Aristote reproduit la même définition 
[voir J. L. Heiberg, Abh. Gesch. Math. Wiss. Leipzig 18 (1904), p. 7].* 
45) Procli Diadochi s ) p. 109. 
46) H. G. Zeuthen [Forelaesning over mathematikens historie: Oldtid og 
middelalder, Copenhague 1893, p. 101; Geschichte der Mathematik im Altertum 
und Mittelalter, Copenhague 1896, p. 115; trad. par J. Mascart, Histoire des 
mathématiques dans l’antiquité et le moyen âge, Paris 1902, p. 94] et M. Simon 
[Euklid und die sechs planimetrisehen Bücher, Leipzig 1901, p. 26] abordent 
l’étude de ces diverses interprétations. 
47) + On consultera surtout, au sujet de ces diverses interprétations, T. L. Heath, 
The thirteen books 8 ), p. 165/8 (Note de G. Eneström).* 
48) Lettre à F. Giordano écrite en 1689; Werke, éd. G. I. Gerhardt, Math. 
Sehr. 1, Berlin 1849, p. 196, 199.