232 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
second ordre. Et effectivement, S. Thieme construit l’ensemble des 
surfaces d’ordre n qui sont polaires des points de l’espace par rapport à 
une surface d’ordre n 1, puis aussi un faisceau, un réseau et un 
système linéaire quelconque de tels ensembles, en supposant, ce qui 
a lieu pour n = 2, que les constructions et les propriétés correspon 
dantes sont déjà connues pour les surfaces d’ordre n. Mais il ne con 
sidère là que les éléments réels ; et le théorème relatif aux points d’in 
tersection d’une droite avec une courbe plane ou une surface n’ap 
paraît chez lui que sous la forme: „Les courbes et les surfaces 
d’ordre n + 1 contiennent au plus n -f- 1 points d’une droite donnée, 
ou elles contiennent la droite toute entière“ 209 ). Sans doute, sa théorie 
pourrait être conservée en grande partie dans le cas d’éléments com 
plexes, mais la difficulté principale, la démonstration du théorème sur 
la constance du nombre des points d’intersection (réels ou imaginaires), 
serait encore à surmonter. 
Dans un mémoire ultérieur, H. Thieme 21 °) traite ce problème 
particulièrement pour les surfaces du troisième ordre, en prenant 
comme point de départ la théorie des surfaces du second ordre et de 
leurs systèmes linéaires. 
Bien qu’incomplet, l’essai de H. Thieme était rationnel. Pour 
pouvoir considérer les figures algébriques du troisième ordre et au- 
dessus, à l’exemple de K. G. Chr. von Staudt, sans sortir du domaine 
des éléments réels, il fallait commencer par s’élever des systèmes 
polaires ordinaires, c’est-à-dire des correspondances bilinéaires, aux 
correspondances „trilinéaires“ 
et ainsi de suite. Les systèmes polaires mentionnés plus haut consti 
tuent un premier pas dans cette voie 211 ). 
209) H. Thieme, Z. Math. Phys. 24 (1879), p. 284. 
210) Die Flächen dritter Ordnung als Ordnungsflächen von Polarsternen 
[Math. Ann. 28 (1887), p. 133/51]. 
211) Les correspondances linéaires d’ordre n dans les formes de rang un ont 
été étudiées, surtout pour n — 3, dans plusieurs travaux. On trouve déjà des 
indications sur ce sujet dans F. August [De superficiebus tertii ordinis, Diss. 
Berlin 1862] et d’une façon plus détaillée et plus systématique dans J. Bosanes 
[lieber linear-abhängige Punktsysteme, J. reine angew. Math. 88 (1880), p. 241, 
§ 9]; H. Schubert [Die trilineare Beziehung zwischen drei einstufigen Grundge 
bilden, Math. Ann. 17 (1880), p.457]; B. Klein [Theorie der trilinear symmetrischen 
Elementargebilde, Habilitationsschrift Marbourg 1881]; C. Le Paige [Mém. cou 
ronnés et savants étrangers Acad. Belgique in 4°, 42 (1879), mém. n° 4, p. 1/71; 
F. Folie et C. Le Paige [Mém. Acad. Belgique 43 (1880/2), 2 e partie, mém. n° 2, 
p. 1/43; 45 (1882/4), mém. n° 1, p. 3/45; C. Le Paige, Bull. Acad. Belgique (3) 5