27. Recherches de Paolis. 
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Malheureusement la mort vint prématurément interrompre ses recher 
ches en 1892. 
R. de Paolis avait reculé son point de départ plus encore que ne 
l’avait fait E. Kotter, et était parti des fondements même de la géo 
métrie [cf. III 19]. 
Sa „teoria dei gruppi geometrici e delle corrispondenze che si 
possono stabilire tra i loro elementi 214 )“ contient des considérations 
d’analysis situs [III 6], en particulier sur la connexion des surfaces, avec 
des démonstrations purement géométriques de théorèmes relatifs aux 
correspondances continues, équivalents à des théorèmes analytiques de 
K. Weierstrass et de G. Cantar. Ces considérations peuvent être regardées 
comme constituant la partie de la géométrie qui correspond à la „théorie 
générale des fonctions“. 
Le second mémoire de R. de Paolis „le corrispondenze proiettive 
nelle forme geometriche fondamentali di l a specie 215 )“ correspond à la 
théorie des fonctions algébriques d’une variable. La base de cette 
théorie est fournie par une étude purement géométrique des corres 
pondances n-linéaires entre n formes de rang un; dans cette étude, 
les éléments de ces formes sont associés en multiplicités oc n_1 de 
groupes de n éléments, „aggruppamenti proiettivi di ordine ca 
ractérisés par ce fait que, si l’on suppose fixes dans les formes corres 
pondantes n—2 éléments d’un groupe (ou d’un «-tuple de points), les 
deux autres décrivent toujours des séries projectives. C’est là l’image 
géométrique de l’équation «-linéaire 
qui comprend, comme cas particuliers, les équations polaires dans les 
formes de première espèce, de même que l’équation de la correspon 
dance générale (m, n). Dans le cas de formes superposées, les „aggrup 
pamenti proiettivi“ mentionnés plus haut fournissent les involutions 
d’ordre n et de rang n — 1, et comme intersections de ces dernières 
on obtient celles de rang inférieur. 
Deux involutions l’une d’ordre n et de rang n— 1, l’autre d’ordre 
n et de rang un (non contenue dans la première), ont toujours un 
groupe de points communs et un seul. C’est ce théorème qui remplace 
le théorème fondamental de l’algèbre et fournit la base nécessaire 
pour les recherches synthétiques à venir. De même qu’on ne peut 
214) Mena. mat. fis. Soc. ital. delle scienze (3) 7 (1890), mém. n° 6; Extraits 
complétés par de nouvelles recherches [Ann. mat. pura appi. (2) 18 (1890), p. 93]. 
215) Mem. Accad. Torino (2) 42 (1892), p. 495; compte-rendu par C Segre 
[Atti Accad. Torino 27 (1891/2), p. 366].