28. Essais sur la conception analytique d’espaces à plusieurs dimensions. 237 
grand nombre de questions délicates“ et à „guider le calculateur au 
milieu des difficultés“ 220 221 ). La notion d’ensemble à n dimensions a été 
établie d’une façon générale par H. Grassmann 2U ) dès 1844; ses 
„systèmes de rang n“ procèdent d’une figure génératrice quelconque 
à laquelle il applique „n lois différentes de variations“. Cette géné 
ration apparaît aussi dans B. Biemann 222 ), qui indique comme caractère 
essentiel d’une multiplicité à n dimensions la condition „que la déter 
mination du lieu dans celle-ci puisse être ramenée à n déterminations 
de grandeurs“. B. Biemann étudie surtout les „rapports métriques“ 
d’une telle multiplicité, dont la théorie s’e&t ensuite développée dans 
bien des directions [cf. III 1, n os 33 à 38; III 38]. 
Une notion importante due à B. Biemann est celle des différentes 
courbures d’une multiplicité; grâce à lui et à E. Beltrami 223 ) un grand 
intérêt se concentre sur les multiplicités à „courbure constante“, qui 
permettent un groupe de déplacements à n paramètres. 
H. von Helmholtz 224 ) essaie, au contraire, de caractériser une mul 
tiplicité par l’existence de ce groupe de déplacements et de conclure 
de là aux relations métriques qui y ont lieu, problème qui fut plus 
tard traité en toute rigueur par S. Lie 225 ) [cf. III 1, n os 39 à 42] et 
dans des bypothèsès plus générales encore, par JD. Hilbert 226 ). 
220) Mémoire sur les lieux analytiques [G. R, Acad. sc. Paris 24 (1847), 
p. 885; Œuvres (1) 10, Paris 1897, p. 292/5]. 
221) Die lineale Ausdelmungslehre, Leipzig 1844; Werke l 1 , publ. par 
F. Engel, Leipzig 1894, p. 1. 
222) Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grande liegen [Habili- 
tationsscbrift, Gôttingue 1854; Abb. Ges. Gôtt. 13 (1866/7), éd. 1868, math. p. 133; 
Werke, publ. par H. Weber, (l ro éd.) Leipzig 1876, p. 254; (2 e éd.) Leipzig 1892, 
p. 272 et suiv. ; trad, française par L. Laugel, Paris 1898, p. 280]. Voir aussi la 
„Commentatio mathematica“ [Werke, (2 e éd.) p. 403 [1861]]. La condition énoncée 
a été reconnue depuis insuffisante; il faut encore que la correspondance soit 
réversible, univoque et continue. 
223) Teoria fondamentale degli spazi di curvatura constante [Ann, mat. 
pura appl. (2) 2 (1868/9), p. 232; Opéré 1, Milan 1902, p. 406]. 
224) Über die Tatsachen, die der Geometrie zugrunde liegen [Nacbr. Ges. 
Gôtt. 1868, p. 193/221; Wiss. Abb. 2, Leipzig 1883, p. 618]. Voir aussi Verbandl. 
des natur. bistor.-mediz. Vereins Heidelberg (1) 4 (1865/8), p. 197; (1) 5 (1869/70), 
p. 31; Wiss. Abb. 2, Leipzig 1883, p. 613. Des explications géométriques sur le 
problème de ïïelmboltz ont été fournies par F. Klein, Nicbt-Euklidiscbe Geometrie 
(cours autograpbié Gôttingue) 1 (1889/90); (2 e éd.) 1, Gôttingue 1894, p. 261 et suiv. 
225) S. Lie et F. Engel, Tbeorie der Transformationsgruppen 3, Leipzig 1893, 
p. 393 (section 5). Voir aussi divers mémoires cités dans cet ouvrage, en partie. 
H. Poincaré, Bull. Soc. matb. France 15 (1886/7), p. 203. 
226) Grundlagen der Geometrie, (2 e éd.) Leipzig 1903, p. 121; (3 e éd.) Leip 
zig 1909.