238 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
29. Espaces à plusieurs dimensions nés de la considération 
d’éléments quelconques. La génération des „systèmes de rang n“ de 
H. Grassmann contenait aussi une idée géométrique, encore assez vague. 
J. Plücker formula cette idée d’une façon précise, en remarquant qu’on 
peut attribuer à notre espace un nombre quelconque de dimensions 
en choisissant convenablement la figure géométrique que l’on con 
sidère comme élément générateur. Dès 1868 J. Plücker 227 228 ) appliqua 
cette idée, quoique encore par des méthodes analytiques, au cas de 
la ligne droite dans l’espace. De même A. Cayley 22S ) considéra les 
sections coniques d’un plan par des points d’un espace à cinq di 
mensions, et G. H. Halphen 229 ) établit sur les systèmes de courbes 
planes des théorèmes qui équivalent à des théorèmes bien connus sur 
les multiplicités du second et du troisième degré. Cette idée a trouvé 
des applications de plus en plus nombreuses; elle a donné naissance, 
entre autres, à la géométrie des sphères, à la géométrie des cercles 
et des sections coniques [Voir à ce sujet III 7 et III 37]. En par 
ticulier, on peut considérer tout système linéaire oo n de formes algé 
briques (groupes de points sur une droite, courbes planes, surfaces, 
formes bilinéaires, connexes etc.) comme un espace linéaire à n dimen 
sions, ce qui donne naissance à un grand nombre de cas particuliers 
et d’applications. 
30. Perfectionnement et développement de la conception pro 
jective. Les recherches de géométrie à n dimensions ne reçurent une 
forte impulsion que lorsque les géomètres, poussés par les considérations 
précédentes, se proposèrent d’étendre la géométrie élémentaire et pro 
jective du plan et de l’espace au cas de n dimensions. Cela revenait 
à abandonner dans la géométrie ordinaire le postulat de la triple 
dimension de l’espace (et à modifier en conséquence les théorèmes 
sur les intersections de droites et de plans). 
G. F. Gauss, d’ailleurs, considérait déjà les trois dimensions de 
l’espace comme „une conception particulière à l’esprit humain“ 230 ). 
Et dès 1846, A. Cayley 231 ) avait remarqué que les considérations de 
227) Neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der ge 
raden Linie als Raumelement, Leipzig 1869. On trouve déjà une indication sur 
ces idées [System der Geometrie des Raumes, Dusseldorf 1846, n° 258] cf. n° 12. 
Voir aussi J. Plücker, Wiss. Abh. 1, Leipzig 1895, p. 462/585. 
228) On the curves which satisfy given conditions [Philos. Trans. London 
158 (1868), p. 75; Papers 6, Cambridge 1893, p. 191]. 
229) Recherches de géométrie à n dimensions [Bull. Soc. math. France 2 
(1873/4), p. 34]. 
230) Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtnis, Leipzig 1856, p, 81.