240 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Garrus. 
la géométrie réglée 239 ), la projection stéréographique, la détermination 
métrique projective générale. Dans son programme d’Erlangen 240 ) 
F. Klein envisage également l’espace à n dimensions. 
Dans le mémoire fondamental de W. K. Clifford „on the classi 
fication of loci“ 241 ), qui aborde l’étude générale des courbes dans un 
espace quelconque, les considérations synthétiques alternent déjà avec 
des considérations analytiques. La géométrie projective purement syn 
thétique de l’espace à n dimensions commence en 1881 avec un mémoire 
de G. Veronese 242 ), où l’espace à n dimensions est engendré géométri 
quement par projection d’un espace à n—1 dimensions d’un point pris 
hors de celui-ci 243 ); les opérations fondamentales de la projection et 
de la section y sont appliquées systématiquement pour obtenir des 
figures d’un espace quelconque, en particulier d’un espace à trois 
dimensions, comme projections d’autres figures d’un espace supérieur, 
et pour déduire les propriétés des premières de celles des dernières. 
Certains chapitres de ce mémoire sont consacrés aux correspondances 
projectives de deux espaces à n dimensions, à la génération des mul 
tiplicités algébriques par des formes fondamentales projectives, aux 
multiplicités quadratiques à n — 1 dimensions d’un espace à n dimen 
sions; dans le quatrième chapitre, les formules de Flüclcer-Cayley 
relatives aux singularités d’une courbe plane ou gauche |n os 19 à 21] 
sont étendues aux courbes de l’espace à n dimensions. 
Ce mémoire de G. Veronese inaugura en Italie une ère de grande 
239) „La géométrie réglée est la géométrie d’une multiplicité quadratique à 
quatre dimensions M\ dans l’espace à cinq dimensions“ [Math. Ann. 5 (1872), 
p. 261 et suiv.]. 
240) Yergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, 
Progr. Erlangen 1872; réimpr. Math. Ann. 43 (1893), p. 63; trad. italienne par 
G. Fano, Ann. mat. pura appl. (2) 17 (1889/90), p. 307 ; trad. française par H. Padé, 
Ann. Éc, Norm. (3) 8 (1891), p. 87/102, 173/99. 
241) Philos. Trans. London 169 part II (1879), p. 663; Papers, Londres 1882, 
p. 303. 
242) Math. Ann. 19 (1882), p. 161. 
243) ^Considérons un espace S n h n dimensions. Si l’on suppose les variables 
x t , îc 2 , . . ., x n liées par p relations linéaires, on obtient un espace linéaire 
S n _ p à, n—p dimensions contenu dans S n . Si l’on prend alors un point arbitraire 
A de S n on peut par J. et S n _ p faire passer un espace linéaire S n _ p + 1 à n—p-\-1 
dimensions. En prenant l’intersection de ce dernier avec un espace S p _i à p— 1 
dimensions on n’obtient en général qu’un seul point A' qui s’appelle la projection 
de A sur l’espace S p _i, le point de vue étant l’espace S n _ p . Dans cette per 
spective généralisée le point de vue est un espace linéaire S n _ p et l’on pro 
jette sur un espace linéaire S p _i. Si l’on prend p—n le point de vue se réduit 
à un point et l’on projette sur un espace S n _ 1 à n — 1 dimensions. En parti 
culier pour n = 3, on a la projection conique habituelle sur un plan.*