242 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique S. Carrus. 
planes ou gauches qu’on peut déduire l’une de l’autre par une „trans 
formation univoque“ (en tenant compte des éléments complexes) 247 248 ). 
Quoique cette notion ne fût pas nouvelle et que' le théorème d’in 
variance ait déjà été formulé d’une autre façon par B. Riemann U8 ), 
c’est A. Clebsch qui en a donné l’interprétation géométrique la plus 
générale et en a reconnu la grande portée. Ce théorème appartenait 
à un domaine alors peu exploré, celui des propriétés des équations algé 
briques qui sont invariantes par rapport à toutes les transformations bi- 
rationnelles, domaine auquel appartenait aussi la question des „modules“ 
d’une classe de fonctions algébriques dont B. Eiemann avait déter 
miné le nombre dans le cas général 249 ). Ce domaine, où la théorie 
des fonctions et la théorie des courbes algébriques apparaissent 
comme fondues l’une dans l’autre, fut ouvert et parcouru en tous 
sens par les travaux de A. Clebsch. Comme extension naturelle aux 
formes à deux dimensions, A. Clebsch établit aussi la notion de genre 
d'une surface, abordant ainsi la recherche des propriétés d’une surface 
qui sont invariantes par rapport aux transformations univoques de cette 
surface 250 ) [I 10]. 
D’autre part, en géométrie aussi, la théorie des transformations 
[III 23] avait suffisamment progressé. Après s’en être longtemps tenu 
aux transformations projectives et quadratiques, la notion générale de 
transformation ponctuelle hirationnelle dans le plan avait été établie 
en 1863 par L. Cremona 251 ) et de 1869 à 1871 étendue à l’espace 
par A. Cayley 252 ), L. Cremona 253 ) et M. Nother 2H ) La considération 
247) J. reine angew. Math. 64 (1865), p. 98. 
248) Théorie der Abelschen Funktionen [J. reine angew. Math. 54 (1857), 
p. 115/55, en partie, p. 133; Werke, publ. par H. Weber, (2° éd.) Leipzig 1892, 
p. 88/144, en partie, p. 119; trad. L. Laugel, Paris 1898, p. 89/164, en partie, p. 131]. 
249) J. reine angew. Math. 54 (1857), p. 136. 
250) La possibilité de la représentation uniforme de deux surfaces l’une sur 
l’autre dépend, il est vrai, de toute une série de questions dont on n’avait alors 
aucune idée et qui ne sont même pas encore définitivement résolues aujourd’hui. 
Mais ici encore c’est A. Clebsch qui a fait le premier pas en établissant la 
notion du „genre“ d’une surface [C. R. Acad. sc. Paris 67 (1868), p. 1238] dont 
l’invariance par rapport aux transformations univoques fut démontrée par 'M. Nother 
[Zur Théorie des eindeutigen Entsprechens algebraischer Gebilde von beliebig vielen 
Dimensionen, Math. Ann. 2 (1870), p. 293/316; 8 (1875), p. 501/8]. La notion du 
genre „numérique“ (jo n ) d’une surface est due à A. Cayley [Philos. Trans. Londou 
159 (1869), p. 227; Math. Ann. 3 (1871), p. 256; Papers 6, Cambridge 1893, p. 355; 
8, Cambridge 1895, p. 394] et son invariance a été démontrée par H. G. Zeuthen, 
Math. Ann. 4 (1871), p. 21 et M. Nother, id. 8 (1875), p. 495 (§ 9). 
251) Memorie Ist. Bologna (2) 3 (1863), p. 385/98; (2) 5 (1865), p. 3/35; réimpr. 
Giom. mat. (1) 1 (1863), p. 305; (1) 3 (1865), p. 269, 363.