32. Géométrie sur une courbe ou sur une surface algébrique. 243 
des courbes et des systèmes de courbes situées sur des surfaces parti 
culières avait conduit à des „représentations“ remarquables de ces 
surfaces, entre autres à la représentation plane d’une surface du second 
ordre, et à celle des surfaces du troisième ordre, effectuée par A. 
Clebsch 252 253 254 255 ) et L. Cremona* 56 257 ). Dans ces exemples de transformations uni 
voques, dont les dernières n’avaient pas trait à tout l’espace, mais 
seulement à des surfaces particulières, on avait aussi les éléments géo 
métriques nécessaires pour aborder la „géométrie sur une multiplicité 
algébrique“ (courbe, surface, etc.). 
32. Géométrie sur une courbe ou sur une surface algébrique. 
Dans la géométrie sur une variété algébrique simplement infinie, c’est- 
à-dire sur une courbe algébrique [I 10; III 19], on étudie les „fonctions 
rationnelles des coordonnées d’un point de cette courbe“, et par con 
séquent les séries linéaires (ou involutions) de groupes de points de 
la courbe: le système des „points de niveau“ d’une fonction rationnelle 
est en effet l’involution rationnelle oo 1 * la plus générale. 
Cette théorie a été développée par diverses méthodes: 
1) La méthode fonctionnelle, d’après la „Théorie der Abelschen 
Funktionen“ de B. Riemann, qui étudie, du point de vue de la théorie 
des fonctions, les fonctions rationnelles de la courbe donnée, c’est-à- 
dire les fonctions algébriques appartenant à une certaine „classe“, et 
leurs intégrales, c’est-à-dire les intégrales abéliennes de cette classe. 
2) La méthode algéhrico-géométrique, d’après un mémoire fonda 
mental de A.Brill et M. Nother 261 ). On représente alors la multiplicité 
algébrique proposée par une courbe plane, sur laquelle on peut tou 
jours découper les involutions rationnelles par des courbes „adjointes“. 
E. Bertini 258 ) a donné un exposé d’ensemble de ces recherches. 
3) La méthode algébrico-arithmétique, d’après L. Kronecker 259 ) et 
252) On the rational tranformations between two spaoes [Proc. London matb. 
Soc. 3 (1869/71), p. 127; Papers 7, Cambridge 1894, p. 189]. 
253) Nachr. Ges. Gott. 1871, p. 129/48; réimpr. Math. Ann. 4 (1871), p. 213; 
Reale Ist. Lombarde Rendic. (2) 4 (1871), p. 269, 315; Ann. mat. pura appl. (2) 5 
(1871/3), p. 181. 
254) Math. Ann. 3 (1871), p. 547. 
255) J. reine angew. Math. 65 (1866), p. 359. 
256) Dans son mémoire couronné en 1866 par l’Académie de Berlin [J. reine 
angew. Math. 68 (1868), p. 1]. 
257) lieber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geo 
metrie [Math, Ann. 7 (1874), p. 269]. 
258) Ann. mat. pura appl.(2) 22 (1894), p. 1. 
259) Cette méthode a été développée d’abord par L. Kronecker dans ses 
cours professés à l’Université de Berlin. Cf. L. Kronecker, J. reine angew. Math. 91 
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