B3. But et principes généraux. 
245 
surfaces rationnelles. Par cette voie, ils sont arrivés à définir géo 
métriquement et à faire ressortir un grand nombre de caractères inva 
riants d’une surface. 
^D’autres résultats de grande importance ont été établis par F. 
Severi 265 266 ), qui à cet effet a eu aussi recours aux méthodes transcen 
dantes.* 
Un exposé d’ensemble des résultats obtenus jusqu’en 1896 a été 
donné par G. Castelnuovo et F. Enriques 26G ), qui l’ont repris ensuite en 
1901 267 ) et en 1906 268 ). 
^Tandis que certains théorèmes sur les courbes algébriques se 
transportent aisément aux surfaces et aux variétés à plusieurs dimen 
sions, d’autres propriétés donnent lieu, au contraire, à des différences 
bien remarquables, lorsque la dimension s’accroît.* 
Voir à ce sujet les articles III 23, III 26 et III 28. 
Géométrie énumérative. 
38. But et principes généraux. Dans un système algébrique 
de oo r éléments géométriques, il y a un nombre fini d’éléments qui 
remplissent r conditions simples indépendantes. Or, il peut arriver 
qu’on ait intérêt, pour des conditions données, à connaître ce nombre 
sans avoir besoin de préciser les différentes solutions. C’est ce qui 
se présente, par exemple, quand on cherche uniquement le degré d’une 
courbe ou d’une surface engendrée d’une certaine manière. La déter 
mination de ce nombre est souvent possible par des méthodes géné 
rales qui constituent la géométrie énumérative [III 4]. Ces problèmes 
énumératifs peuvent aussi être formulés algébriquement; car il s’agit, 
en somme, de connaître le nombre (supposé fini) de solutions d’un 
système d’équations algébriques. Cela revient, en dernier lieu, en 
imaginant que nous ayons éliminé toutes les inconnues sauf une, à 
déterminer le degré de l’équation résultante donnant cette dernière in 
connue. Le degré de cette équation est égal au nombre de ses racines, 
à condition de compter k fois chaque racine de multiplicité k; si le 
265) +F. Severi, dans une série de mémoires dont il sera question dans les 
articles III 4 consacrés à la géométrie algébrique dans l’espace.* 
266) Math. Ann. 49 (1897), p. 241. 
267) Ann. mat. pura appl. (8) 6 (1901), p. 165. 
268) E. Picard et G. Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux 
variables indépendantes 1, Paris 1897; 2, Paris 1906; appendice, note 5. Ce traité 
contient un exposé récapitulatif comprenant aussi les derniers résultats obtenus 
jusqu’en 1906 et indiquant la part due à chacune des deux directions de re 
cherches.