248 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Car rus. 
parties, conformément à la division des fonctions en deux classes, 
comme nous allons le voir. 
On sait que 
™=f 0) 
est une fonction de la variable réelle z 2U ) quand, dans un certain 
intervalle, à toute valeur réelle de z correspondent une ou plusieurs 
valeurs réelles déterminées de w. Cette „dépendance“ est la seule 
marque caractéristique de la notion de fonction; toutes les autres 
propriétés, dont il est ordinairement question à propos des fonctions, 
n’appartiennent qu’à des classes particulières de fonctions. 
Parmi les fonctions d’une variable réelle, il y a 
1°) des fonctions discontinues, 
2°) des fonctions continues mais non dérivables, 
3°) des fonctions continues, dérivables une ou plusieurs fois, ou 
même à l’infini, mais pas encore analytiques, 
4°) des fonctions analytiques. 
Mais si, au lieu de limiter la variabilité de z aux valeurs réelles, 
on admet aussi des valeurs complexes [II B], il convient de restrein 
dre la notion de fonction, et de n’appeler ainsi que les fonctions ana 
lytiques, c’est-à-dire celles que l’on peut, à l’intérieur d’un certain con 
tour, développer en série entière, uniformément convergente, dont les 
coefficients peuvent être, eux aussi, des nombres complexes. 
La série entière 
w = a + b(z — z 0 ) -f c{z — zff + , 
supposée convergente à l’intérieur d’un cercle déterminé ayant son 
centre en z 0 , définit alors d’après K. Weier strass 274 275 ) un „élément de 
274) D’après G. Lejeune-Lirichlet [cf. II 1, 8]. 
275) K. Weierstrass, Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen 
(cours ms. non publié) § 122. La définition d’une fonction de variable complexe 
u -)- iv = f(x -J- iy) 
fonction monogène d’après A. L. Cauchy [Exercices d’analyse et de phys. math. 4, 
Paris 1847, p. 346] et d’après B. Biemann [Grundlagen für eine allgemeine Theorie 
der Functionen einer veränderlichen komplexen Grösse, Diss. Göttingue 1851, p. 1/2; 
Werke (2 e éd.), publ. par H. Weber, Leipzig 1892, p. 3/4; trad. L. Laugel, Paris 
1898, p. 1/3] est basée au contraire sur la condition que les fonctions réelles u 
et v satisfassent aux équations différentielles [II8] 
du dv du dv 
dx dy dy dx 
Cette définition est plus générale que celle de K. Weierstrass. Les fonctions 
monogènes mais non analytiques ont été envisagées récemment par E. Bord [C. R. 
Acad. sc. Paris 154 (1912), p. 568, 1491; Bull. Soc. math. France 40 (1912), p. 205].