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250 G. Fano. III3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
duction de variables complexes permet parfois de traiter les questions 
d’une façon plus commode et plus élégante par un algorithme con 
venable [cf. seconde note du n° 19]; c’est ce qui arrive par exemple 
dans la théorie de la représentation conforme des surfaces [II 8; III 33] 
et dans la théorie des surfaces minima [III 32; III 33]; en particulier, 
pour les dernières, dans les formules dites formules de Weierstrass. 
A cette branche de la géométrie appartiennent encore la plupart 
des recherches de S. Lie sur les groupes de transformations [II 23] 
et les transformations de contact [III 34]; S. Lie, en effet, n’a envisagé 
d’ordinaire que des fonctions à domaine de valabilité limité, sans pro 
longement analytique, et parfois même simplement une notion de 
fonction tout à fait imprécise 279 ). 
La géométrie de l’espace tout entier traite, au contraire, des ques 
tions où les figures géométriques sont considérées dans toute leur 
extension. Les fonctions qui y interviennent doivent donc se laisser 
prolonger, en partant de leurs éléments, en des fonctions totales bien 
définies, ce qui nécessite le caractère analytique. La géométrie de 
l’espace tout entier peut être appelée aussi géométrie des figures ana 
lytiques, c’est-à-dire des figures définies par des fonctions analytiques, 
ou des équations analytiques 280 ). Dans le cas de variables complexes, 
ces figures possèdent la propriété caractéristique d’être définies com 
plètement et d’une façon unique par une portion limitée quelconque 
(mais finie): c’est une conséquence immédiate du principe de la re 
présentation des fonctions analytiques par des séries entières, et de leur 
prolongement analytique. Dans la géométrie de l’espace tout entier il y 
a donc intérêt à attribuer aux variables, de prime abord, une variabi 
lité complexe, c’est-à-dire de regarder dans les figures les éléments 
réels et les éléments imaginaires comme tout à fait équivalents. 
278) Cf. par ex. L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, Pise 1894, 
p. 1, 60; (2 e éd.) 1, Pise 1902; 2, Pise 1903; 3, Pise 1909; trad. allemande par 
M. Lukat, Leipzig 1910. 
279) La géométrie infinitésimale a des rapports remarquables 
1°) avec la géodésie [YI 1 et YI 2], à cause des théories relatives à une 
région limitée de la surface de la terre, dont s’occupe cette dernière; 
2°) avec la physique mathématique, en particulier avec la théorie du poten 
tiel [II 24] où l’on a constamment affaire à des représentations et à résoudre des 
problèmes de valeurs bordées; 
3°) avec la mécanique analytique, puisque plusieurs problèmes de mécanique 
ont leur signification dans la géométrie infinitésimale. Ainsi, par exemple, le 
„principe de la moindre action“ de C. G. J. Jacobi [IY 1, 55, 56] conduit à 
la détermination des lignes géodésiques dans un espace où les variables de 
J. L. Lagrange sont envisagées comme des coordonnées. 
280) Définition précise dans l’article II 8.