254 G. Fano. III 3. Géométrie synthétique et géométrie analytique. S. Carrus. 
ment analytiques; des recherches synthétiques de géométrie infinitési 
male n’ont été faites jusqu’ici que dans une très faible mesure 289 ). 
*11 ne peut être question de rappeler ici, même sommairement, 
les autres directions suivant lesquelles la géométrie infinitésimale s’est 
développée et les problèmes les plus importants que l’on a ainsi étudiés. 
Nous renvoyons pour cela aux articles de géométrie infinitésimale d’une 
part, et d’autre part aux œuvres magistrales, telles que les traités 
de G. Darboux et de L. JBianchi 290 ).* 
Nous nous contenterons de donner ici un aperçu sur les recher 
ches de S. Lie; ce géomètre occupe en effet une place tout à fait parti 
culière dans le dernier tiers du 19 ième siècle, et sa production appar 
tient en grande partie à la géométrie infinitésimale. 
39. Aperçu général sur les reclierch.es de Lie. Dans ses re 
cherches, S. Lie est parti de cette conception, qu’il serait désirable (à 
l’exemple de G. Monge) de mettre les notions géométriques au service 
de l’analyse. Des recherches géométriques le conduisirent dès 1869 
à considérer quelques groupes continus finis. Puis il remarqua que la 
plupart des équations différentielles ordinaires dont l’intégration est 
possible par les méthodes anciennes restent invariantes par certains 
groupes de transformations, qui peuvent être facilement indiqués, et 
que ces méthodes d’intégration consistent même essentiellement à tirer 
parti de cette propriété; il remarqua aussi que la théorie de l’intégra 
tion des équations aux dérivées partielles du premier ordre peut être 
interprétée comme une „géométrie des éléments de surface“ où la no 
tion de „transformation de contact“ joue le rôle fondamental. C’est 
de là que sont nées comme sciences autonomes: 
I o ) La théorie générale des groupes continus finis [Il 23]; 
2°) La théorie générale des transformations de contact [III 31]; 
3°) La théorie géométrique des équations différentielles [III 35]. 
289) W. Schell, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krümmung in rein 
geometrischer Darstellung, Leipzig 1859 ; (2° éd.) considérablement revue et aug 
mentée, Leipzig 1898. 
290) *(?. Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces 1, Paris 1887; 
2, Paris 1889; 3, Paris 1894; 4, Paris 1896; L. JBianchi, Lezioni di geometria 
differenziale, Pise 1894; (2 e éd.) 1, Pise 1902; 2, Pise 1903; 3, Pise 1909; trad. 
allemande par M. Lukat, Leipzig 1910. Voir aussi l’étude sur le développement 
des méthodes géométriques, lue par G. Darboux, au Congrès de St-Louis en 1904 
et surtout le rapport du même auteur au 4 ième congrès international des mathé 
maticiens [Atti del quarto congresso internazionale dei matematici in Roma 1908, 
vol. 1, éd. Rome 1909, p. 105]; Les origines, les méthodes et les problèmes do 
la géométrie infinitésimale.*