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en particulier un faisceau de plans dans le cas d’une équation linéaire. 
Le problème est donc celui-ci: grouper en surfaces les oo 4 éléments 
(;x,y,z,p,q) qui vérifient l’équation f= 0. 
Autres généralisations analytiques. 
40. La notion générale de courbe envisagée analytiquement 
[ITT 2]. D’autres domaines de la géométrie ont été abordés de nos 
jours par des méthodes analytiques; citons particulièrement l’„analy- 
sis situs“ qui s’occupe des propriétés des figures géométriques (cour 
bes, surfaces ) invariantes par rapport à toute déformation conti 
nue [III 6]. 
Ici on rencontre d’abord la notion la plus générale de courbe et 
de surface. La définition des courbes et surfaces dépasse notre intui 
tion, puisque celle-ci n’a qu’une précision limitée. Pour rendre la défi 
nition exacte, il faut étayer l’intuition par des axiomes précis [cf. n° 1], 
ce que l’on peut faire d’une part par la géométrie analytique, d’autre 
part par les développements récents de la théorie des ensembles [I 7]. 
L’un des problèmes les plus importants de l’analysis situs consiste 
précisément à éclaircir les relations existant entre les expressions analy 
tiques et géométriques des mêmes notions et les propositions concernant 
la théorie des ensembles. 
La définition analytique de la courbe plane par des fonctions 
x = cp(t), y = t) 
continues dans un certain intervalle réel a <Ct < b s’est révélée trop 
générale. Il nous suffira d’indiquer l’exemple de la courbe de Peano 295 ) 
qui recouvre toute une portion de surface, cas éclairci géométriquement 
par R Hilbert 296 297 ) et F. Klein™) [1 7, 5; III 29], et le cas de l’épi- 
cycloïde [III 29; III 31] dont les points, lorsque les rayons des deux 
cercles générateurs sont dans un rapport irrationnel, forment, dans 
un anneau circulaire déterminé, un ensemble partout dense, sans que 
tout point de cet anneau fasse partie de la courbe. Si nous voulons 
nous en tenir à la notion de „courbe empirique“, il y a donc intérêt 
à restreindre la définition analytique générale. 
K. Weierstrass dans ses cours a déjà distingué les différentes espè- 
295) Math. Arm. 36 (1890), p. 157. 
296) Math. Ann. 38 (1891), p. 459. 
297) Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie (coura 
autographie Göttingue 1901), ed. Leipzig 1902, p. 241 et suiv.; (nouv. ed.) Leip 
zig 1907. 
Encyclop. des soienc. matliemat. III 1. 
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