III 4. GÉOMÉTRIE ÉNÜMÉRATIVE.
Exposé, d'après l’article allemand de H. G. ZEÜTHEN (Copenhague)
par M. PIERI (paume).
Généralités. 1 )
1, Objet de la géométrie énumérative. Un grand pas est fait
dans la solution d’un problème qui dépend d’une équation algébrique,
quand on connaît le degré de cette équation. Les racines de cette équation
algébrique, exprimées par les coefficients, ne peuvent en effet appartenir
alors qu’à certaines classes connues de quantités irrationnelles; et la
détermination des coefficients revient ensuite assez souvent à un pro
blème beaucoup plus simple. Si l’équation est à plusieurs inconnues, sa
forme rationnelle entière est encore déterminée quand on connaît son
degré [I 9] ou bien encore son degré par rapport à chacune des in
connues; la connaissance d’un nombre fini de valeurs correspondantes
des inconnues permet ensuite de calculer les coefficients.
Il y a donc grand intérêt à posséder des méthodes permettant
de trouver le degré d’une équation en dehors de tout calcul algébrique.
Et puisque le degré d’une équation est un nombre égal au nombre
des racines, on voit que rechercher le degré revient à dénombrer les
racines. Dans cette énumération, on doit compter r fois chaque racine
d’ordre de multiplicité r; et on ne doit faire aucune distinction entre
les racines réelles et les racines imaginaires. On doit, de plus, regarder
l’infini oo comme racine multiple d’ordre r de multiplicité chaque fois
qu’en attribuant des valeurs spéciales aux paramètres contenus dans
l’équation, le degré de celle-ci par rapport à l’inconnue envisagée
s’abaisse de r unités 2 ). Si d’ailleurs on fait usage de variables homo-
1) Les considérations générales qui font l’objet de ce chapitre [n os 1 à 4]
sont reprises et développées dans H. G. Zeuthen, Lehrbuch der abzâhlenden
Metboden der Géométrie, (sous presse) Leipzig 1914, cbap. 1.
2) Voir cependant n° IB note 99, où l’on mentionne un cas où M. Chasles se
refuse à se placer complètement au point de vue projectif dont nous parlons ici.
