2. Notions fondamentales. Théorèmes de Bézout. 261 
gènes, ces r solutions apparaîtront d’elles-mêmes. Enfin il faut ob 
server qu’une équation algébrique, bien que ne possédant en général 
qu’un nombre fini n de solutions, peut néanmoins en avoir une infinité; 
ceci a lieu chaque fois qu’elle est satisfaite identiquement. 
C’est surtout en géométrie qu’on a employé de telles énumé 
rations; et c’est précisément pour se conformer au langage et à l’esprit 
géométrique que l’on parle de points, de droites, etc. imaginaires ou 
à l’infini toutes les fois que les quantités déterminant la position 
d’un point, d’une droite, etc. prennent des valeurs imaginaires ou ex 
priment des distances infiniment grandes. Cette façon de parler géo 
métrique s’étend même aux espaces à plusieurs dimensions [Voir l’ar 
ticle III 26]. 
2. Notions fondamentales. Théorèmes de Bézout. Non seule 
ment la géométrie énumérative s’appuie sur la représentation algébrique, 
mais c’est aussi dans cette représentation algébrique qu’elle trouve son 
point de départ. 
On appelle «courbe plane du m ième ordre» toute courbe représentée 
en coordonnées cartésiennes par une équation algébrique de degré m, et 
qui, par suite, rencontre en m points toute droite du plan. Le premier 
principe utilisé pour les recherches ultérieures fut le théorème de 
Bézout [I 9, 56; III 19]: «deux courbes d’ordres respectifs m 1 et m 2 se 
coupent en m x m 2 points». Mais combien de fois faudra-t-il compter 
un point commun parmi les m x m 2 points d’intersection? 
La règle suivante, due à G. H. Halphen 3 * * * * 8 ), fournit la réponse à 
cette question, à condition qu’on ait, par un changement de variables, 
remplacé chaque point d’intersection à l’infini s’il y en a, par un point 
proprement dit: 
«Le nombre des points d’intersection de deux courbes planes qui 
sont confondus en un point commun A (on pourrait dire absorbés 
par le point A) est égal à la somme des ordres infinitésimaux de 
tous les segments situés sur une droite dont la distance à A est in 
finiment petite du premier ordre, et ayant leurs deux extrémités sur 
les deux courbes.» 
De même on introduit la notion générale de surface du m ième 
3) Bull. Soc. math. France 3 (1874/5), p. 76; Mena, présentés Acad. sc. 
Institut France (2) 26 (1879), mém. n° 2, p. 13 [1874]. Dans les articles III19 et III 28 
(géométrie plane) ainsi que III 23 et III 28 (géométrie dans l’espace) se trouvent 
exposés de nombreux travaux ayant ce même objet, en particulier ceux de 
M. Nôther. Nous nous bornons ici, ainsi qu’au n° 3, à mentionner les règles se 
prêtant particulièrement aux énumérations. Les ordres d’infiniment petits qu’on 
y rencontre s’obtiennent souvent à leur tour par des énumérations convenables.