H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
la somme des ordres de tontes les cordes infiniment petites déterminées 
par la courbe sur une autre droite issue du même point et inclinée 
d’un angle infiniment petit du premier ordre sur a, le double de 
cette somme fera connaître le nombre de fois que la droite a doit 
être comptée parmi les m(m — 1) tangentes menées du point P à la 
courbe». Il est facile d’énoncer la règle qui se déduit de la précédente 
par dualité; nous en laissons le soin au lecteur 8 ). 
«En désignant par m et n l’ordre et la classe d’une courbe plane, 
par (i la multiplicité ponctuelle d’un de ses éléments ou cycles [III19], 
c’est-à-dire le nombre des points confondus où il est coupé par une 
droite passant par le point singulier et ne coïncidant pas avec la 
tangente, et par v la multiplicité tangentielle de cet élément ou cycle, 
c’est-à-dire le nombre qui correspond à p. par dualité, on a toujours 
3 (n — m) = ^(v — ¿t), 
la somme étant étendue à tous les cycles pour lesquels v ^ ¿a.» A 
cette proposition se rattache la règle suivante 9 ): 
«Un cycle dont les multiplicités sont ¿a et v est coupé par sa 
tangente en p, -(- v points confondus. 
C’est précisément dans le but de rendre applicables à toute courbe 
algébrique les formules premières de J. Plücker que l’on a imaginé 10 ) 
les équivalents plucJiériens d’une singularité supérieure; ils indiquent 
pour combien de points doubles ou de rebroussement, et pour combien 
de tangentes doubles, ou stationnaires, on peut compter cette singularité, 
de façon que les trois formules de Plücker et la formule du genre 
[n° 18] soient toujours vérifiées. A l’origine l’intérêt que l’on attachait 
à cette énumération n’allait pas au-delà de ces formules; il s’accrut 
8) Nous ferons souvent de même dans ce qui suit, en particulier quand 
l’application du principe de dualité pour passer d’une propriété d’une figure à 
la propriété correspondante de la figure corrélative ne peut offrir aucune difficulté. 
9) G. H. Halphen 9 )- O. Stolz, Math. Ann. 8 (1875), p. 415; M.Nôther, id. 9 
(1876), p. 166, 
F. Schuh [K. Akad. Wetensch. Amsterdam, Verslagen natuurk. Afdeeling 
13 (1904/5), p. 133]; P. Mehmke [Z. Math. Phys. 49 (1903), p. 62] et H. G. Zeuthen 
[Lehrbuch 1 ), n os 14 et 15] appliquent la règle de G. H. Halphen à une courbe 
gauche de l’espace ordinaire ou d’un espace à «>3 dimensions. 
10) C’est A. Cayley [Quart. J. pure appl. math. 7 (1866), p. 212; Papers 6, 
Cambridge 1892, p. 520] qui a, le premier, envisagé ces „équivalents“. Mais il 
faut surtout signaler à cet égard un mémoire de H. J. S. Smith, Proc. London 
math. Soc. (1) 6 (1874/5), p. 153/82; Papers 2, Oxford 1894, p. 101/31. Cf. III19. 
W.A.Versluys [K. Akad. Wetensch. Amsterdam, Verslagen natuurk. Afdeeling 
14 (1906/6), p, 482; 15 (1906/7), p. 342; Archives Teyler (2) 10 (1906), p. 253] a 
effectué une recherche analogue dans le cas des courbes gauches.