266 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
trouve le théorème de Bézout déjà utilisé par G. Maclaurin 12 ) et 
W. Braïkenridge 13 j pour la détermination numérique des ordres de 
certaines courbes, que ces auteurs venaient de rencontrer en se pro 
posant de généraliser la description organique des courbes du troisième 
ordre à point double, donnée par I. Netvton u ) [III19]. W. Braïkenridge, 
par exemple, part du théorème: 
«Si les trois côtés d’un triangle ABC tournent autour de trois 
points fixes F, F, G tandis que les sommets A et B glissent le long 
de deux droites fixes a et h, le troisième sommet G décrit une section 
conique.» 
W. Braikenridge en déduit, par le dénombrement des points d’inter 
section avec une droite arbitraire, que la courbe devra être d’ordre 2 m 
ou 2mn, si l’on remplace la droite a par une courbe du m ième degré 
ou les droites a et & par deux courbes du w ième et du w ièma degré. 
En cherchant ensuite de combien de manières différentes le point 
mobile G peut coïncider avec E ou avec F, il trouve que, dans le 
dernier cas, ces deux points seront multiples d’ordre mn de la courbe. 
Enfin, il discute les cas où des droites se détachent du lieu, par suite 
des positions particulières que l’on peut donner aux points fixes; et 
dans chacun de ces cas il détermine le degré de la courbe résiduelle. 
Ce sont des procédés semblables qui ont été utilisés plus tard par 
J. Steiner lh ) dans ses recherches énumératives, commencées en 1845, 
et concernant soit les courbes et surfaces algébriques générales, soit 
les courbes et surfaces de degré peu élevé. A l’aide d’énumérations 
successives, il réussit à déterminer les ordres, les classes et autres 
caractères numériques de certaines courbes, telles que les courbes po 
laires, le lieu géométrique du milieu des cordes déterminées par une 
courbe sur les droites d’un faisceau, l’enveloppe des cordes dont les 
milieux se trouvent sur des courbes données, etc. 
En effet, des théorèmes de Bézout et de Plücker, J. Steiner déduit 
immédiatement de nouveaux nombres utilisables à leur tour pour d’autres 
déterminations, et ainsi de suite. On entrevoit ce procédé à travers la 
succession de ses résultats donnés pour la plupart sans démonstration. 
L’emploi systématique de méthodes plus spéciales n’y est point in- 
12) Geometria organica, sive descriptio linearum curvarum universalis, 
Londres 1720. 
13) Exercitatio geometrica de descriptione linearum curvarum, Londres 1733. 
14) Enumeratio linearum tertii ordinis, chap. 6 (publié pour la première 
fois en appendice à la l re édition anglaise de son traité: Optics, Londres 1704); 
Opéra, éd. S. Horsley 1, Londres 1779, p. 556. 
15) Ber. Akad. Berlin 1848, p. 310/6; J. reine angew. Math. 47 (1854), p. 1/105; 
Werke 2, Berlin 1882, p. 493/601.