4. Emploi synthétique de résultats acquis antérieurement. 267 
cliqué, car en général il passe sur les détails; d’ailleurs il semble 
n’avoir suivi que très rarement une voie bien méthodique; il a plutôt 
recours pour chaque problème aux ressources les mieux appropriées à 
la nature de ce problème. Sans dédaigner l’usage des équations al 
gébriques, il ne développe cependant les calculs que dans la mesure 
exigée par le but qu’il poursuit. Quelques-uns de ses artifices par 
ticuliers seront mentionnés dans la suite [n os 6, 12 et 20]. Parmi les 
autres, nous indiquerons la façon dont il fait apparaître le nombre 
m 2 , comme nombre des normales que l’on peut mener d’un point P 
à une courbe plane du rn ième degré; pour cela, il dénombre les points 
où la courbe est coupée par la courbe que l’on en déduit par une 
rotation infiniment petite autour du point P 16 ); il se sert aussi de 
la transformation quadratique univoque qu’il connaissait déjà et qui 
lui permet de déduire le nombre des coniques ayant un contact double 
ou stationnaire avec une courbe donnée et passant par trois points 
donnés de celui des tangentes doubles ou stationnaires d’une autre courbe 17 ). 
En utilisant ainsi sans cesse les résultats acquis successivement, 
et en recourant toujours davantage aux méthodes spéciales dont il 
est parlé plus loin, on a pu effectuer géométriquement les recherches 
indiquées à la fin du n° 3. Et pour se rendre compte du degré de 
développement auquel ont atteint certaines théories géométriques 
dans le sens énumératif, alors même que ces méthodes spéciales 
n’étaient qu’à peine ébauchées, il suffit de se reporter aux théories 
des courbes et surfaces algébriques de L. Cremona 18 ). 
16) J. Steiner, J. reine angew. Math. 49. (1855), p. 333; Werke 2, Berlin 1882, 
p. 621. 
F. August [J. reine angew. Math. 68 (1868), p. 242] et A. Mannheim [C. R. 
Acad. sc. Paris 70 (1870), p. 1025; Principes et développements de géométrie 
cinématique, Paris 1894, p. 320] ont, à leur tour, utilisé ce même procédé ciné 
matique pour obtenir les normales à une surface algébrique issues d’un point 
donné, ainsi que pour étudier ses normalies (c’est sous ce nom que A. Mannheim 
désigne le lieu des normales à la surface le long d’une courbe) tracées sur la 
surface. 
A. Beck [Math. Ann. 14 (1879), p. 207/11] démontre les formules de Plücker 
en appliquant systématiquement un déplacement infiniment petit, ou collinéation 
centrale infiniment petite. Par la même méthode il a trouvé [Viertelj. Naturf. 
Ges. Zurich 52 (1907), p. 266] plusieurs nombres relatifs aux sécantes multiples 
d’une courbe gauche. 
17) J. Steiner, J. reine angew. Math. 49 (1855), p. 273; Werke 2, Berlin 1882, 
p. 615; cf. Th. Berner, Diss. Berlin 1865. 
J. Ph. E. de Fauque de Jonquières emploie une méthode analogue [Nouv. 
Ann. math. (2) 3 (1864), p. 97/111] pour déterminer les courbes d’ordre m à point 
(m — 1) uple de position donnée, satisfaisant aux mêmes conditions. 
18) Mem. Ist. Bologna (1) 12 (1861), p. 411; Introduzione ad una teoria