270 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
Ailleurs, il envisage aussi le nombre des asymptotes ou des points 
d’intersection avec la droite de l’infini 25 ). 
Les exemples donnés par J. V. Poncelet montrent bien qu’il ne 
songeait à appliquer son principe que dans les cas où un simple 
renvoi à la représentation analytique, sans aucune exécution des calculs, 
suffit pour obtenir une démonstration parfaite. 
Il dit même 26 ) que son principe pourrait être démontré aisément 
par l’algèbre. Mais il évite d’utiliser ces ressources, parce que, à son 
avis, le principe aurait dû se présenter comme une question purement 
géométrique, et apporter à la géométrie la même généralité dont jouis 
sait déjà la méthode algébrico-analytique. C’est pour ces raisons qu’il 
ne parvient pas à donner un fondement réel à son principe ni, par 
conséquent, à établir les limites rigoureuses de sa validité. Cela explique 
que A. L. Cauchy ne l’a apprécié dans le rapport 27 ) qu’il a fait sur 
l’ouvrage fondamental de J. V. Poncelet que comme constituant une 
«forte induction». Ce jugement a peut-être contribué à ce que, long 
temps, on n’a pas osé suivre J. V. Poncelet dans la voie qu’il avait 
tracée malgré les remarquables applications qu’il en avait données: 
celle d’une méthode énumérative qui est aussi sûre que féconde tant 
qu’on ne rompt pas ses liens nécessaires avec l’algèbre. 
6. Usage du principe de continuité après Poncelet. Etant 
données trois surfaces de degrés respectifs m, n, p, passant par la 
courbe d’intersection de deux autres surfaces, G. Salmon 28 }, pour trouver 
le nombre de points où elles s’entrecoupent en dehors de cette courbe, 
imagina de décomposer la première des trois surfaces en un plan et 
une surface du (m — l) ième degré. 
Plus tard, il emploie le même procédé pour résoudre des pro 
blèmes analogues dans un espace à plusieurs dimensions 29 ). Il obtient 
le degré de la surface réglée dont les génératrices s’appuient deux fois 
25) Propriétés projectives 5 ), (2 e éd.) 2, p. 287, 293. Ces passages sont contenus 
dans une section du Traité de J. V. Poncelet qui n’était pas comprise dans la 
première édition. Mais l’interprétation projective des propriétés métriques qui 
sert de fondement aux dénombrements dont il s’agit avait déjà été introduite 
par J. V. Poncelet dans ses publications de 1822 à 1832. 
26) Propriétés projectives 5 ), (2 e éd.) 1, introd. p. XIV. 
27) Ce rapport de A. L. Cauchy a été imprimé en tête de la première 
édition du Traité de géométrie projective, Paris 1822, et déjà Ann. math, pures 
appl. 11 (1820/1), p. 69. 
28) Cambr. Dublin math. J. 2 (1847), p. 71. Voir à ce sujet n° 9 note 55 
de l’article actuel. 
29) Quart. J. pure appl. math. 7 (1866), p. 327. Il signale d’ailleurs expli 
citement la signification algébrique de ces recherches hypergéométriques.