8. Droite et pian définis à Laide de congruences et de mouvements. 19 
(VEuclide, se trouve contenu implicitement un nouveau postulat, puis 
qu’une droite et un point extérieur à cette droite suffisent pour dé 
terminer un plan. C’est pourquoi il a proposé de définir plutôt le 
plan comme le lieu des perpendiculaires à une droite menées par un 
point arbitrairement fixé sur cette droite. 
La définition à'Euclide se présente alors sous la forme d’un 
théorème dont la démonstration a préoccupé G. F. Gauss 76 77 ) comme on 
le voit en consultant ses œuvres posthumes. 
Des considérations analogues ont amené F. Deahna' 1 ' 1 ) à une dé 
finition du plan qui ne diffère pas essentiellement de celle de 
G. F. Gauss. Après avoir établi les concepts de la droite et de la 
sphère en s’appuyant sur le concept de Féquidistance comme sur un 
concept primitif, il suppose que l’on peut mouvoir la sphère autour 
d’un de ses diamètres de façon que chaque point de la surface décrive 
une ligne fermée (une circonférence de cercle); parmi ces circonfé 
rences il y en a une qui partage la surface de la sphère en deux 
parties congruentes: les droites qui joignent les points de cette cir 
conférence au centre de la sphère engendrent un plan 78 ). 
G. Veronese 79 ) a repris à nouveau l’examen des définitions que 
l’on peut donner du plan. Après avoir énoncé quelques postulats 
sur la droite et la congruence (cf. n° 11), il définit deux droites 
comme parallèles (dans la géométrie euclidienne) quand ces deux 
droites sont opposées (symétriques) relativement à un point, et il 
introduit le postulat suivant: 
Deux droites parallèles sont opposées par rapport au milieu de 
chaque segment dont les extrémités sont situées sur ces deux droites. 
En s’appuyant sur ce postulat il définit le plan par l’ensemble 
des droites (le faisceau de droites) qui projettent, d’un point A exté 
rieur à une droite (a), les points de cette droite (a), en adjoignant à 
cet ensemble de droites la parallèle menée par A à (a). Ceci posé, 
il démontre que le plan ainsi défini et construit contient la droite qui 
joint deux quelconques de ses points 80 ). 
76) Note écrite très probablement en mars 1832; Werke 8, Gottingue 
(Leipzig), p. 194. 
77) Diss. Marbourg 1837. Cf. W. Killing, Einfübrung in die Grundlagen 
der Geometrie 1, Paderborn 1893; 2, Paderborn 1898, p. 183. 
78) *Les développements de F. Deahna renferment un cercle vicieux. Ils 
supposent, en effet, les postulats de congruence qui eux-mêmes ne peuvent être 
établis sans supposer préalablement la notion du plan (Note de F. Schur).* 
79) Fondamenti 26 ), p. 299 (livre I n° 19, livre II n° 7). Pour plus de détails 
voir G. Veronese et P. Gazzaniga, Elementi 28 ), (2 e éd.) p. 31, 32. 
80) G. Veronese a indiqué comment on pourrait définir le plan dans Pbypo- 
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