9. Généralisations inductives; méthode fonctionnelle de Cayley. 275 
Un choix particulièrement simple de la position des figures données 
a permis à H. Krey de trouver le nombre des surfaces coniques du 
w ième or( j re q U i satisfont à des conditions données 51 ). On rencontre 
aussi de nombreuses applications du principe de permanence dans 
deux Traités de B. Sturm 52 ). D’autres applications encore plus étendues 
vont découler des «formules d’incidence» de H. Schubert, conséquences 
elles-mêmes du principe de conservation [n 08 24 et 26]. 
9. Généralisations inductives; méthode fonctionnelle de Cayley; 
critique ultérieure. Les démonstrations fondées sur la loi de la con 
servation du nombre ne sont vraiment valables qu’aux conditions sui 
vantes: 
1°) le cas spécial qu’on utilise doit réellement se trouver parmi 
les cas limites du cas général proposé; 
2°) les solutions que l’on dénombre dans le cas particulier doivent 
être effectivement les limites de celles dont on cherche le nombre dans 
le cas général; 
3°) chacune des solutions limites doit être comptée autant de 
fois que les solutions qu’elle remplace. 
Le moyen de s’assurer que ces conditions sont remplies est fourni, 
soit par la comparaison avec la représentation algébrique, soit par 
des règles fondées sur celles-ci dont nous avons indiqué les exemples 
les plus simples 53 ). 
Cependant, pour satisfaire à la troisième de ces exigences, on a 
parfois recours à des déterminations indirectes, telles que celles qui 
seront mentionnées dans le n° 14. 
Voici un exemple qui marque assez bien l’importance de la pre 
mière condition déjà soulignée par G. H. Halphen 5 *). 
Pour établir que, d’une façon générale, mn est le nombre des 
points communs à une surface du m ième ordre et à une courbe du 
w iême orc i rej ü est légitime 55 ) de remplacer la surface par un système de m 
51) Acta math. 5 (1884/5), p. 83. Cf. III19. 
62) Die Gehilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie 1, Leipzig 
1892; 2, Leipzig 1893; 3, Leipzig 1897; Die Lehre von den geometrischen Ver- 
wandschaften 1, Leipzig et Berlin 1908; 2, Leipzig et Berlin 1908; 3, Leipzig et 
Berlin 1909; 4, Leipzig et Berlin 1909. 
53) Voir n° 8 2 et 3; voir aussi n° 14, note 107. 
54) Voir n° 2, note 4, et n° 3, note 11. 
55) G. Salmon, A treatise on the analytical geometry of three dimensions, 
(4 e éd.) Dublin 1882, p. 299. Il faut toutefois avouer que G. Salmon n’ose pas 
fonder là-dessus une véritable démonstration du théorème, ce qui eût été cepen 
dant bien légitime. Comme d’ailleurs au sujet du mode de démonstration cité 
au n° 6, note 28, il fait ses réserves. 
18