276 H- G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
plans 56 ), tandis qu’il ne serait pas permis (nous le verrons bientôt), 
de substituer à la courbe un système de n droites 57 ). 
On a souvent appliqué sans démonstration préalable, des hy 
pothèses telles que, par exemple, un nombre cherché ne puisse dé 
pendre que de certains autres nombres; A. Cayley 58 ) a même déve 
loppé dans ce sens une nouvelle méthode (la „méthode fonctionnelle“) 
pour déterminer dans ces cas la forme qui convient à l’expression 
cherchée. C’est ainsi qu’il détermine par exemple le degré G(m d ) 
de la surface engendrée par les cordes triples d’une courbe gauche 
du m ième ordre. En considérant une courbe décomposée, il trouve 
d’abord 
G(m -f- m') 8 = G (m 3 ) + G(m 3 ) + G(m, m 2 ) + G{m', m 2 ), 
où l’on connaît à l’avance les nombres G (m, m' 2 ) et G (m 2 , m') relatifs 
aux lieux des droites qui s’appuient deux fois sur l’une de ces deux 
courbes partielles et une fois sur l’autre. Ensuite, de cette équation 
fonctionnelle et de l’hypothèse [cf. n° 2, note 4] que la fonction G(m 8 ) 
dépend seulement de l’ordre m et du nombre de points doubles apparents, 
il déduit l’expression générale de G(m s ) renfermant deux constantes 
arbitraires, dont il trouve les valeurs à l’aide de cas particuliers 59 ). 
C’est en toute rigueur que le mode de démonstration de G. Sdlmon a été 
employé par H. Weber [Lehrbuch der Algebra, (l rd éd.) 1, Brunswick 1895, p. 163] 
pour établir les théorèmes sur le nombre de points d’intersection de courbes et 
de surfaces données. 
56) D’autres démonstrations fondées sur le principe de correspondance ont 
été données par G. Fouret [Bull. Soc. math. France 1 (1872/3), p. 122, 258] „et 
par M. Pieri [Giorn. mat. (1) 26 (1888), p. 351/4]*. Voir aussi H. G. Zeuthen, 
Lehrbuch 1 ), n° 16. 
57) G. Z. Giambelli [Mena. Accad. Torino (2) 52 (1903), p. 172, 176] se borne 
à appliquer le principe à un seul cas où sa légitimité peut se contrôler aisément. 
58) Philos. Trans. London 153» (1863), p. 462; Papers 5, Cambridge 1892, 
p. 177. 
On trouvera une analyse critique des applications de la méthode fonction 
nelle dans H. G. Zeuthen, Lehrbuch J ), n os 33 et 34. Voir aussi, dans le présent 
article, n° 32, note 246.! 
59) L. D. R. Picquet procède d’une façon analogue [Bull. Soc. math. France 1 
(1872/3), p. 260]; C. F. Geiser [Collectanea mathematica in memoriam Dominici 
Chelini, réunis et publiés par L. Cremona et E. Beltrami, Milan 1881, p. 294] aborde 
aussi la même question en commençant par décomposer la courbe proposée en deux 
autres courbes ; abstraction faite d’une extension à des cas où certaines expressions 
numériques acquièrent des valeurs négatives, l’usage qu’il fait ainsi du principe 
de continuité est légitime. Il évite, en effet, l’emploi du postulat de Cayley en 
n’envisageant d’abord que des courbes dont chacune est l’intersection totale de 
deux surfaces. L. Berzolari [Rend. Cire. mat. Palermo 9 (1895), p. 186] a montré 
que la détermination du nombre des sécantes quadruples d’une courbe gauche et