20 III 1. F. Enriques. Questions d’ordre élémentaire. 
La droite et le plan 81 ) peuvent aussi être introduits conformément 
aux principes de la théorie des groupes dont il est question dans 
d’autres articles de l’Encyclopédie 82 83 ). 
9. Droite et plan définis à l’aide de postulats. Au lieu de 
définir les concepts „droite“ et „plan“ à l’aide des notions de „con 
gruence“ et de „mouvement“, on peut les envisager comme des concepts 
fondamentaux caractérisés par un groupe de postulats. 
Si l’on envisage comme primitif le concept du segment rectiligne, 
on peut donner une définition de la droite 8S ) à l’abri de toute critique. 
Si l’on postule d’une façon convenable les attributs d’une surface 
plane, on peut de même définir nettement ce qu’il faut entendre par 
plan illimité. Si, au contraire, on part du concept de la droite comme 
fondamental, on ne peut définir le segment de droite sans faire inter 
venir encore un autre concept primitif. 
Quand il sera question des principes de la géométrie projective 
(n os 29 à 31) nous énumérerons les postulats auxquels on parvient en 
suivant la première de ces deux voies. Nous nous bornerons ici à 
montrer que, en suivant la seconde voie, les attributs concernant les 
rapports de position mutuelle, ou \ appartenance, des droites et des 
plans [ce que JD. Hilbert 84 ) appelle die Verknüpfung c’est-à-dire en 
quelque sorte l’enchevêtrement des notions de droite et de plan] 
apparaissent, dans une certaine mesure, comme distincts des attributs 
que ces figures possèdent en tant que lignes et surfaces, c’est-à-dire des 
postulats d'ordre et de séparation. 
Voici comment on peut d’ailleurs formuler ces postulats à!appar 
tenance: 
thèse de N. I. Lobacevslij (donc indépendamment du postulat du texte qui 
contient le postulat des parallèles d’Euclide et peut-être un peu plus). G. Veronese 
a aussi examiné le cas de B. Riemann (n° 14) où par un point il n’y a aucune 
droite parallèle à une droite donnée: le plan tout entier est alors donné par 
les droites, issues d’un point extérieur à une droite fermée, qui projettent les 
points de cette droite fermée ; mais, dans ce cas de B. Riemann, il n’a donné la 
définition du plan qu’en faisant aussi appel à une autre hypothèse dans laquelle 
apparaît le double concept d’un espace infiniment petit et d’un espace infiniment 
grand. G. Veronese estime d’ailleurs que cette dernière hypothèse est inutile 
dans son système; mais cette affirmation demanderait à être justifiée. 
81) + Pour la définition du plan par la droite, voir F. Schur, Gruudlagen 
der Geometrie, Leipzig 1909, p. 9.* 
82) *Cela n’est toutefois possible que si l’on suppose que l’espace est une 
variété analytique (Note de F. Schur)* 
83) M. Pasch, Neuere Geom. 24 ), P- 7/ 8 ! éx. Peano, Principii 26 ), p. 9; Sui 
fondamenti délia geometria [Rivista di mat. 4 (1894), p. 51]. 
84) Grundlagen 27 ), (l re éd.) p. 5; (2 e éd.) p. 2; (3 U éd.) p. 3.