11. Problèmes dont le nombre de solutions est nul. 283 
Il en est de même pour ce qui concerne les autres théorèmes de 
J. V. Poncelet 82 ), ainsi que les polygones de J. Steiner et les polygones, 
d’au moins six côtés, de G. Kohn, qui sont à la fois inscrits dans une 
cubique gauche et circonscrits à une autre 83 ). 
C’est à une question analogue que se rapportent les oo 1 tétraèdres 
de A. Hurwitz dont les sommets appartiennent à une cubique gauche, 
tandis que les faces sont circonscrites à une autre, et certains oo 2 poly 
gones étudiés par M. Gardiner et H. G. Zeuthen 84 85 ) ayant leurs 
sommets sur une quadrique donnée, et dont les côtés passent par 
des points fixes ou appartiennent à certaines congruences de droites. 
De nouvelles extensions de ces problèmes de fermeture à l’espace 
ont été faites ensuite par G. Humbert et G. Fontené 8h ). 
H. G. Zeuthen considère aussi comme autant d’applications du 
principe de permanence, dans le sens qui a été indiqué, les raisonne 
ments habituels grâce auxquels, de ce qu’une proposition exprimable au 
moyen d’une équation algébrique est vérifiée quand certaines parties 
de la figure sont réelles, ou déduit sa validité en général 86 ). 
11. Problèmes dont le nombre de solutions est nul. Des ré 
sultats non moins importants nous donnent les énumérations par les 
quelles on constate que tel ou tel problème n’a pas de solution en 
général. Si le dénombrement porte, par exemple, sur les points d’inter- 
82) On ne peut toutefois pas y ramener, sans quelque détour, le cas que 
J. V. Poncelet [Propriétés projectives 5 ), (2 3 éd.) 1, p. 315] avait aussi envisagé, où 
l’une des coniques du premier problème est remplacée par [plusieurs coniques 
appartenant à un même faisceau ponctuel ou tangentiel et où la seconde conique 
appartient au même faisceau. C’est pour cette raison que K. Bohn [Ber. Ges. Lpz. 
60 (1908), math. p. 94] et C. Juel [Festskrift til H. G. Zeuthen, Kôbenhavn 1909, 
p. 88] appliquent à la solution de ce problème particulier d’autres méthodes. 
Dans H. G. Zeuthen [Lehrbuch 1 ), n° 3 46 et 140] au contraire, ce cas particulier 
sert d’exemple pour montrer comment on peut appliquer la méthode du texte 
à. des cas où un problème se décompose en plusieurs dont un seul admet une 
infinité de solutions. 
A propos des autres théorèmes de J. V. Poncelet, voir B. Sturm, Die Lehre 
von den geometrischen Yerwandtschaften 1, Leipzig et Berlin 1908, p. 288. 
83) Sitzgsb. Akad. Wien 106 II a (1897), p. 481. 
84) M. Gardiner, Quart. J. pure appl. math. 7 (1866), p. 284; H. G. Zeuthen, 
Math. Ann. 18 (1881), p. 33; 26 (1886), p. 268. 
Voir aussi G. Juel, Nyt Tidsskrift mat. Kôbenhavn (Copenhague), Afd. B, 1 
(1890), p. 11. 
85) Bull. Soc. math. France 32 (1904), p. 135, 284. 
86) H. G. Zeuthen, Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit, Uni- 
versitetsfestskrift, Copenhague 1879, p. 5; Ann. mat. pura appl. (2) 14 (1886/7), 
p. 33; Lehrbuch 1 ), n° 47.