288 J3. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
l’application du même principe à des classes de problèmes extrême 
ment variés, comment ce principe pouvait remplacer les longues éli 
minations de la géométrie analytique, tant qu’il n’y a pas lieu d’effec 
tuer des calculs spéciaux. C’est d’ailleurs aussi ce qui résulte de la 
possibilité d’en déduire le théorème de Bézout 104 ). 
14. Recherche du nombre des solutions confondues; nouvelles 
applications. Dès qu’on étend le domaine des applications du principe 
de correspondance, il arrive bien souvent que la somme a /3 com 
prend, outre le nombre cherché, les nombres des solutions d’autres 
problèmes dépendant des mêmes conditions. Lorsqu’il en est ainsi, il 
faudra rechercher à part ces derniers nombres, ou bien se procurer, 
par des applications multiples du même principe, autant d’équations 
qu’il en faut pour déterminer à la fois toutes les inconnues. Dans ces 
équations, chacun des nombres cherchés ou déterminés d’avance sera 
affecté d’un coefficient exprimant combien des a -f- /3 coïncidences qu’im 
plique le principe se réuniront pour donner lieu à une quelconque des 
solutions indiquées par le nombre en question. Souvent on peut éviter 
de déterminer directement ces coefficients, en ayant recours à l’artifice 
suivant dont H. G. Zeuthen et H. Schubert ont donné beaucoup d’appli 
cations dans leurs recherches sur les systèmes de courbes, mentionnées 
aux n os 27 à 29. 
On établit d’abord, par le principe de correspondance, un nombre 
surabondant d’équations; on en déduit des identités, et ces identités 
permettent de trouver les coefficients indéterminés du problème. On 
peut aussi utiliser à cet effet les cas particuliers déjà connus. 
La détermination directe des coefficients s’obtient par la règle 
suivante, due à H. G. Zeuthen 105 ): 
«Le nombre des coïncidences absorbées par un point d est égal 
à la somme des ordres infinitésimaux de tous les segments infiniment 
petits xy limités d’une part au point x, dont la distance à d est in 
finiment petite du premier ordre, et d’autre part aux points homo 
logues y.» 
104) C. R. Acad, sc, Paris 75 (1872), p, 756; 76 (1873), p. 126. 
105) Bull. sc. math. (1) 5 (1873), p. 186. Antérieurement • à cette règle qui 
se rattache aux règles de G. H. Halphen [n os 2 et B], H. G. Zeuthen [Nouv. Ann. 
math. (2) 6 (1867), p. 200/6] avait déterminé d’une autre façon la même multi 
plicité en l’utilisant aussi pour une déduction des formules de Plücker. La dé 
monstration que O. Zimmermann [J. reine angew. Math. 123 (1901), p. 1, 175] 
a donnée plus tard de ces mêmes formules revient à la même application du 
principe de correspondance. Au sujet du principe et de ses applications, voir 
H. G. Zeuthen, Lehrbuch 1 ), n os 98 à 115.