14. Recherche du nombre des solutions confondues; nouvelles applications. 289 
On doit aussi à H. G. Zeuthen plusieurs applications combinées 
du principe de correspondance aux singularités des courbes gauches 
algébriques 106 ), ainsi qu’aux propriétés générales des systèmes de courbes 
planes 107 ) et aux relations entre les singularités des surfaces algé 
briques 108 ). Outre les applications diverses, dues à G. Darboux 109 ), 
G. Four et 110 ), B. Sturm 111 ) et à d’autres, nous indiquerons ici deux 
applications, qu’a faites H. Schubert, bien que, le plus souvent, il donne 
au principe la forme particulière dont il sera question au n° 23: c’est 
d’abord la détermination des tangentes multiples d’une surface générale 
du w ième ordre 112 )*, c’est ensuite celle des singularités ordinaires d’un 
complexe de droites 113 ). 
La première de ces recherches a été ensuite étendue par H. Krey lu ) 
aux surfaces douées de certaines particularités ponctuelles, et par 
H. Schubert 116 ) lui-même aux hypersurfaces. H. Krey 116 ) utilise aussi le 
106) Notamment aux singularités touchant les sécantes multiples et les 
triangles formés par celles-ci [Ann. mat. pura appl. (2) 3 (1869/70), p. 176]. On a 
aussi appliqué à l’étude des mêmes questions le théorème de correspondance 1S8 ) 
de Cayley-Brill et la généralisation du théorème n° 18 du genre [H. G. Zeuthen, 
Lehrbuch *), n 0B 84 à 86 et n os 138 à 140]. 
Pour les courbes rationnelles, voir note 127. 
107) K. Danske Yidenskab. Selsk. (Naturv. math. Afhandl.) (5) 10 (1872/3), 
p. 287 [cf. n° 29 note 221]. Voir aussi III 19. Abrégé: Bull, sc. math. (1) 7 
(1874), p. 97. 
Afin de faciliter la détermination des coefficients, les courbes infiniment 
voisines d’une courbe affectée de quelque singularité remarquable sont étudiées 
avec soin dans ce mémoire [cf. W. Bouwmann, Math. Ann. 49 (1897j, p. 24]. Les 
résultats ainsi obtenus pourraient aussi être utilisés dans les applications du 
principe de la conservation du nombre. Il en est d’ailleurs de même des résultats 
obtenus dans le mémoire cité note 108. 
108) Math. Ann. 10 (1876), p. 446. R. Sturm [J. reine angew. Math. 72 (1870), 
p. 350] avait déjà appliqué le principe de correspondance à de telles relations, 
mais cependant dans une mesure plus restreinte. 
109) Il s’agit d’applications à la détermination du lieu des centres de cour 
bure d’une surface [G. R. Acad. sc. Paris 70 (1870), p. 1328]. 
110) Par ex. la détermination du nombre des points d’intersection d’une 
courbe et d’une surface [Bull. Soc. math. France 1 (1872/3), p. 122, 258]. 
111) R. Sturm, dans les ouvrages cités notes 52 et 108. 
112) Math. Ann. 11 (1877), p. 347; Abzahlende Geom. 47 ), p. 232. J. de Vries 
[K. Akad. Wetensch. Amsterdam, Yerslagen natuurk. Afdeeling 13 (1904/5), p. 753] 
étudie le même problème ainsi que des problèmes analogues [id. 14 (1905), p. 50] 
concernant un faisceau de surfaces. 
113) Math. Ann. 12 (1877), p. 202; Abzahlende Geom. 47 ), p. 262. 
114) Math. Ann. 15 (1879), p. 211. 
115) Id. 26 (1886), p. 52. 
116) Id. 19 (1882), p. 497. 
Encyolop. des scienc. mathémat. III l. 19 
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