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H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
principe de correspondance pour dénombrer les solutions d’équations 
algébriques douées de certaines particularités. 
15. Méthodes connexes aux précédentes. La même représen 
tation algébrique des faits de géométrie énumérative sur laquelle est 
fondé le principe de correspondance a fourni d’autres méthodes qui 
se rattachent à ce principe. 
L. Saltel 117 ) envisage un principe de correspondance pour n points 
d’une droite liés par une équation algébrique: la somme des degrés par 
rapport aux abscisses de ces points donne le nombre de fois où les 
points coïncident. La théorie générale des involutions d’ordre supérieur 
entre les points d’une droite [n° 12] et des systèmes symétriques de 
points appartient à ce même objet. Cette théorie, surtout sous la forme 
géométrique que lui donne Em. TUef/r 118 ) au moyen de la représen 
tation par des points de coniques ou de certaines autres courbes con 
venablement choisies, et bien qu’elle s’éloigne de la source algébrique 
du principe de correspondance à cause même de sa représentation 
géométrique, paraît très appropriée aux dénombrements géométriques 
[voir III19 et III28]. 
16. Correspondance dans le plan et dans l’espace à trois ou 
plus de trois dimensions. Un principe de correspondance pour le plan, 
limité au seul cas où toutes les coïncidences ont lieu en des points 
isolés, avait été proposé par G. Salmon 119 )', il fut complété par H. G. 
Zeuthen 120 ) qui l’a exprimé sous la forme suivante: 
117) Il emploie par ex. ce principe pour déterminer l’enveloppe d’un système 
oo 2 de surfaces [Thèse, Nancy 1877, éd. La Rochelle 1877]. Yoir aussi toute une 
série de communications à ce sujet [C. R. Acad. sc. Paris 80 (1875), p. 1064, 
1285, 1324; 81 (1875), p. 884, 1047; 82 (1876), p. 63, 324; 83 (1876), p. 529, 608, 
894; Mém. couronnés et autres mém. Acad. Belgique in-8°, 24 (1875), mém. 
n° 5, p. 5/33 [1874]]; Bull. Acad. Belgique (2) 40 (1875), p. 22/6, 27/33; (2) 41 (1876), 
p. 595, 734; (2)42 (1876), p. 300, 586, 617, 828; (2)43 (1877), p. 24, 266, 460; (2)45 
(1878), p. 102; (2) 47 (1879), p. 184; (2) 48 (1879), p. 632. 
118) Em. Weyr [Beitrage zur Kurvenlehre, Tienne 1880] a donné lui-même- 
un aperçu du contenu essentiel de ses travaux dispersés dans plusieurs revues. 
Au sujet des applications énumératives d’involutions d’ordre supérieur, cf. B.Sturm 
[Geom. Verwandtschaften 62 ) 1, p. 266/304] et pour les involutions de rang supérieur 
[id. 1, p. 337/48]. 
119) A treatise on the analytical geometry of three dimensions, (2 e éd.) 
Dublin 1865, p. 511. 
120) C. R. Acad. sc. Paris 78 (1874), p. 1553. H. G. Zeuthen en déduit une nou 
velle démonstration du théorème de G. H. Halphen [C. R. Acad. sc. Paris 74 (1872), 
p. 41] concernant le nombre cca-j- /5/3' de droites communes à deux congruences 
dont les ordres sont cc et a', les classes /î et D’autres applications se rattachent 
à des transformations de Cremona et à des transformations plurivoques du plan. 
Ces dernières peuvent d’ailleurs être directement utilisées pour obtenir certaines