16. Correspondance dans le plan et dans l’espace à plusieurs dimensions. 
«Si 7 dans un plan, à chaque point x correspondent /3 points y et, 
à chaque point y, a points x, et si, en outre, y est le degré de la 
courbe engendrée par les points y qui correspondent aux points x 
d’une même droite, la somme a -j- /3 -f- y est égale au nombre des 
coïncidences isolées augmenté de l’ordre de la courbe lieu de tous 
les autres points doubles et de la classe de l’enveloppe des droites 
joignant les points de cette courbe avec leurs correspondants infini- 
ments voisins» 121 ). 
Puis H. G. Zeuthen lui-même et, d’une façon plus complète, 
JS. Schubert 122 123 124 ) ont étendu ce théorème à l’espace ordinaire. Dans le 
système de JS. Schubert, il revêt d’ailleurs une autre forme [n° 25], 
qui est susceptible d’extension aux espaces supérieurs [n° 26]. 
C’est ce qui a été fait par JS. Schubert lui-même et, sous différentes 
formes, par E.Caporoli 1 ™) et par M. Fieri iu ). C’est à M.Pieri 125 ) que l’on 
énumérations comme l’a fait par ex. E. Baldus [Math. Ann. 72 (1912), p. 1]. 
Il en est de même pour le principe de correspondance dans l’espace. Voir à ce 
sujet E. Sturm [Geom. Yerwandtschaften 62 ) 4, p. 1 et suiv.] ainsi que les articles III 27 
et III 28. 
121) A. Brill [Math. Ann. 8 (1875), p. 534] utilise cette formule, ainsi que 
le principe de correspondance ordinaire, pour démontrer les théorèmes de contact 
de M. Chasles et de J. Pli. E. de Fauque de Conquières du n° 22 (notes 181 et 183). 
Ces théorèmes, ainsi que d’autres ayant une portée plus vaste, dus à 
G. Fouret [C. R. Acad. sc. Paris 80 (1875), p. 805] et à H. Schubert [Math. 
Ann. 10 (1876), p. 109], rentrent dans le problème général suivant: Etant donnés 
dans un espace linéaire à n dimensions deux systèmes oo i et oo*' de variétés à 
n — 1 dimensions, quel est l’ordre du lieu (à i -(- % — 1 dimensions) des points 
de contact entre variétés des deux systèmes? La solution que M. Pieri [Giorn. 
mat. (1) 30 (1892), p. 131] en a donnée est une généralisation de celle que A. Brill 
avait donnée pour deux ou trois dimensions, en tant qu’elle utilise un théorème 
corrélatif sur les correspondances de oo w-1 couples de points homologues qui 
découle par projection du principe de M. Pieri cité dans la note 124; toutefois 
la démonstration de M. Pieri ne repose pas directement sur ce principe mais sur 
les formules de coïncidence de H. Schubert [n° 25]. 
Le principe de correspondance dans le plan a été ensuite appliqué par 
H. G. Zeuthen [Math. Ann. 18 (1881), p. 33] qui le modifie de façon à obtenir 
une formule de correspondance sur une quadrique [voir à ce sujet H. G. Zeuthen, 
Lehrbuch 1 ), n os 142 à 150], par M. Pieri [Atti R. Accad. Lincei Eendic. (4) 2 I 
(1885/6), p. 327; (4) 2 II (1885/6), p. 40], par A. Del Ee [Rend. Cire. mat. Pa 
lermo 1 (1887), p. 272] et par E. Sturm [Geom. Verwandtschaften 62 ) 4, p. 130/51] 
à la génération de configurations collinéaires ou corrélatives. 
122) Math. Ann. 10 (1876), p. 57. 
123) Memorie di geometria, Naples 1888, p. 331. 
124) Atti R. Accad. Lincei Eendic. (4) 3 I (1886/7), p. 196; Rend. Cire. mat. 
Palermo 5 (1891), p. 252; 11 (1897), p. 58. 
125) Atti Accad. Torino 25 (1889/90), p. 366. 
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