17. Correspondance entre les points d’une courbe ou d’une surface. 295 
n’a été donné jusqu’à présent, en vue d’applications effectives, aucun 
procédé permettant de déterminer ces nombres. 
La valence, positive ou négative, de toute correspondance à valence 
pourrait, selon H. G. Zeuthen, être déterminée par la moitié du nombre 
des coïncidences que l’introduction d’un nouveau point double sur la 
courbe fait, suivant les cas, perdre ou gagner à la correspondance 137 ). 
Outre les applications qui se rattachent aux diverses démonstrations 
des principes précédents 138 ), rappelons encore celles de G. Küpper 1 ™) 
relative au nombre des points de Weierstrass sur une courbe algébrique 
quelconque et celles de F. Severi 140 ) relatives aux singularités d’une 
courbe dans un espace à plusieurs dimensions. 
(1891/2), p. 145]. D’autres exemples concernant la courbe double d’une surface 
unicursale ont été donnés par M. Bernhard [Diss. Stuttgard 1897] qui les a étudiés 
en s’appuyant sur le théorème généralisé du genre [n° 18]. 
137) Math. Ann. 40 (1892), p. 99 (deuxième démonstration). 
Cette démonstration suppose connue la réductibilité à des courbes ration 
nelles de l’espèce de courbes envisagées [n OH 3 et 9]; elle s’appuie d’ailleurs sur 
les mêmes applications du principe de continuité que celles qui ont amené 
J. Ph. E. de Fauque de Jonquières à énoncer [n° 7, note 40] quelques-uns des 
résultats que l’on fait rentrer aujourd’hui dans la formule de Cayley-Brill. 
Les deux démonstrations de H. G. Zeuthen, dont la première est complétée 
et notablement simplifiée dans H. G. Zeuthen, Lebrbuch 1 ), n os 117 à 120, visent 
d’ailleurs à transporter au principe de correspondance de Cayley-Brill la règle 
-directe qui sert au dénombrement des solutions coïncidentes dans le cas du principe 
de correspondance ordinaire [n° 14], F. Severi [Memorie Accad. Torino (2) 51 
(1902), p. 82] a simplifié ces recherches en remplaçant la courbe en question par 
d’autres courbes plus simples telles que la même détermination soit plus aisée, 
sans que, par ce changement de courbe, le résultat puisse être modifié. 
D’autres démonstrations géométriques de la formule de Cayley-Brill ont 
été proposées par H. Schubert [Abzahlende Geom. 47 ), p. 86], K. Bobeh [Sitzgsb. 
Akad. Wien 9311 (1886), p. 899], B. Sporer [Z, Math. Phys. 39 (1894), p. 228] et 
JR. Sturm, Geom. Yerwandtschaften 82 ) 4, p. 222. 
G. Segre [Ann. mat. pura appl. (2) 22 (1894), p. 1] a obtenu la formule de 
Cayley-Brill en transposant ses recherches dans un espace à n dimensions. 
138) Parmi ces applications citons celles de A. Briïl [Math. Ann. 4 (1871), 
p. 522] relatives aux courbes gauches et celles de A. Brill et H. G. Zeuthen [Math. 
Ann. 36 (1890), p. 321; 40 (1892), p. 118] relatives à la détermination de groupes 
spéciaux, qui ont aussi été déterminés autrement par G. Castelnuovo [cf. note 61 
et III 19]. Voir aussi la démonstration donnée par A. Brill [Math. Ann. 6 (1873), 
p. 43] des formules de contact de J. Ph. E. de Fauque de Jonquières [n° 7, note 40]. 
139) Sitzgsb. bôhm. Ges. Prag 1892, p. 257 [cf. III19]. Ce même problème a 
aussi été résolu par A. Hurwitz [Math. Ann. 41 (1893), p. 403], G. Segre [Atti R. Accad. 
Lincei Rendic. (5) 8 II (1899), p. 89] et Isabella Gipolla [Atti R. Accad. Lincei 
Rendic. (5) 141 (1905), p. 210/4; Ann. Scuola Norm. sup. Pisa 10 (1908), mém. n° 1]. 
140) Memorie Accad. Torino (2) 51 (1902), p. 81. A la fin de son mémoire 
l’auteur fait cependant usage de la méthode fonctionnelle mentionnée n° 9, note 64.