298 
H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Fieri. 
où une courbe dépendant de x et ayant, en x, Te intersections confondues, 
rencontre encore la surface donnée, la valence de cette correspondance 
sera égale à Te. 
Quand une correspondance se décompose, une équation analogue 
à l’équation (2) de A. Cayley a encore lieu pour les valences. 
Emploi des propositions sur les genres. 
18. Théorème élémentaire du genre pour les courbes algé 
briques. Sa généralisation [III 19]. A.Clébsch UT ) a été le premier à 
tirer parti pour les énumérations géométriques, du théorème suivant: 
deux courbes dont deux points se correspondent un à un sont du 
même genre. Les démonstrations géométriques de ce théorème, dues à 
L. Cremona 147 148 ), E. Ber Uni I49 ) et EL G. Zeuthen 150 ), conduisirent à de 
nouvelles applications. 
H. G. Zeuthen fut amené par là même à généraliser le théorème 
sous la forme suivante 151 152 ): 
«Etant donnée une correspondance (x 1} x 2 ) entre deux courbes de 
genre p 1 et si l’on désigne respectivement par y x et î/ 2 le nombre 
de fois que deux points d’une courbe qui correspondent à un même 
point de l’autre courbe se confondent, on aura toujours 
Vx - Va = 2 %(ih ~ 1) — 2x x (j0 2 - 1). 
Partout où elle est applicable cette formule jouit d’un grand avantage 
sur d’autres formules énumératives; le dénombrement des coïncidences 
multiples y réussit sans que l’on soit obligé de comparer des ordres 
d’infiniment petits 132 ); et ceci est obtenu grâce au perfectionnement 
147) J. reine angew. Math. 64 (1865), p. 98, Outre la troisième formule de 
Plücker, il trouve par ce moyen les singularités de la développée d’une courbe 
(une faute qui s’était glissée dans la démonstration a été immédiatement corrigée); 
[cf. III19]. 
148) Teoria geom. delle superficie 18 ), p. 45. 
149) Giorn. mat. (1) 7 (1869), p. 105. 
150) C. R. Acad. sc. Paris 70 (1870), p. 105. Plus tard H. Schubert [Math. 
Ann. 16 (1880), p. 180] emploie à cet effet le principe de correspondance ordi 
naire. , 
151) Math. Ann. 3 (1871), p. 150. D’un cas particulier de cette formule, 
démontré directement au moyen de la considération de la surface de Riemann, 
H. Weber [J. reine angew. Math. 76 (1873), p. 345)] a déduit pour p]> 1 une 
inversion du théorème de B. Biernann sur la conservation du genre p. 
152) De plus elle n’est pas assujettie aux mêmes limitations que le principe 
de correspondance de Cayley-Brill tel qu’il a d’abord été énoncé [n° 17]: on ne 
saurait donc la déduire de ce principe. En ce qui concerne la démonstration