300 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
méthodique des nombres relatifs aux singularités d’une courbe en 
visagée soit comme lieu de points, soit comme enveloppe de tan 
gentes. La connaissance du genre joue un rôle particulier dans la 
question de savoir, par exemple, si une courbe donnée est irré 
ductible 159 ). 
19. Genre de surface et autres nombres analogues. Dans les 
recherches de géométrie à trois dimensions, on peut faire un usage 
analogue au précédent de l’égalité entre les genres de deux surfaces 
en correspondance univoque. Les nombres des points fondamentaux 
inhérents à une telle correspondance sont aussi très utiles à connaître. 
H. G. Zeuthen a appliqué des méthodes énumératives à cet ordre de 
recherches 16 °), 
Il a donné les expressions de deux nombres P et J correspondant 
à une surface algébrique quelconque déterminée et en a montré l’im 
portance pour l’étude de deux surfaces dont les points se correspon 
dent un à un. Dans ces expressions il n’a d’ailleurs pas seulement eu 
égard aux nombres qui dépendent des singularités ordinaires de la 
surface, mais aussi à ceux qui dépendent de certaines singularités 
spéciales qui peuvent se présenter. 
Le nombre P n’est autre que le genre arithmétique de la surface 
déjà introduit par A. Cayley 161 ) et au sujet duquel A. Clebsch 162 ) avait 
déjà démontré qu’il ne change pas par une transformation (1, 1). 
à la recherche de l’ordre et des points à cycles multiples. On obtient ensuite 
le genre au moyen d’une correspondance algébrique entre les points de la courbe 
envisagée et ceux d’une autre courbe donnée. 
159) Voir surtout M. Nüther, Acta math. 8 (1886), p. 161 [cf. note 63]. Dans 
Ed. Weyr [Diss. Prague 1873] on rencontre déjà quelques exemples d’autres usages 
que l’on peut faire encore de la connaissance du genre d’une courbe dans des 
recherches énumératives. 
160) Math. Ann. 4 (1871), p. 21; 10 (1876), p. 545; Lehrbuch *), n 0R 93 et 94. 
Supposons ici, pour simplifier, que la surface n’ait d’autre singularité qu’une 
courbe double, et désignons par m l’ordre de la surface, par m' son rang, par 
m" sa classe, par ni" le nombre des plans tangents stationnaires qu’on peut lui 
mener par un point de l’espace; on a alors les relations 
24(P-f-1) = m” — 12m' -|- 24m, 
J -J- 4 = m" — 2 ni -)- 3 m. 
En tenant encore compte d’autres singularités, on peut aussi appliquer ces for 
mules dans des questions d’énumération concernant les surfaces polaires réci 
proques 108 ). 
161) Philos. Trans. London 159 (1869), p. 227; Papers 6, Cambridge 1893, 
p. 356. 
162) C. R. Acad. sc. Paris 67 (1868), p. 1238.