19. Genre de surface et autres nombres analogues. 
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Si pour les deux surfaces qui sont en correspondance (1, 1), le 
nombre J a les valeurs J x et J 2 et si dans cette correspondance les 
deux surfaces contiennent l’une f 1} l’autre f 2 points fondamentaux 
simples, on a 
fi + = A + ^2’ 
C. Segre 163 ) a mis en évidence le caractère d’„invariant relatif“ du 
nombre J pour les systèmes de courbes tracées sur une même surface, 
et c’est comme tel que ce nombre J a joué un rôle dans plusieurs 
recherches effectuées depuis lors. Au sujet d’une application énumérative 
concernant J voir n° 17, note 146. 
I. Severi 164 * ) a démontré deux formules concernant la correspon 
dance (cq, cc 2 ) de deux surfaces, qui jouent ici le même rôle que 
joue l’extension du théorème du genre [n e 18] dans le cas de deux 
courbes. Bornons-nous ici au cas où les points fondamentaux sont 
tous simples, et non situés sur la courbe dite „de passage“ (courbe 
dont les points correspondent à des points confondus); désignons par 
v l’ordre de la courbe de passage, par % le genre de cette courbe, 
par 7] le nombre de ses points de rebroussement (à chacun desquels 
correspondent trois points confondus), par A le nombre de ses points 
de rencontre avec la courbe suivant laquelle un cône, de sommet 
arbitrairement fixé, touche la surface; convenons enfin d’affecter de 
Findice 1 tout ce qui se rapporte à la première surface et de l’indice 
2 tout ce qui se rapporte à la seconde. On a alors 
CC 2 (J X +4) — CC X (e/ï) + 4) = 2(ît 2 %f) — (t] 2 Tjf) + (/ 2 ff), 
et 
24 cc 2 {P x -fl) — 24 cq(P 2 + 1) = 6(æ 2 — jq) 
— 2(rj 2 -r] x ) -f 3(A 2 — 3v 2 ) - 3(A X — 3iq). 
163) Ann. mat. para appl. (2) 22 (1894), p. 1. Il a aussi étendu l’application 
de cet invariant à des variétés de une, deux ou trois dimensions [Atti Accad. 
Torino 31 (1895/6), p. 485]. 
Il convient toutefois d’observer que ces recbercbes de C. Segre et celles de 
F. Severi li3 ) 16i ), ainsi qu’en général toutes les recbercbes concernant la théorie et 
les applications de la notion de genre d’une courbe ou d’une surface, appartien 
nent à d’autres parties de la géométrie [cf. III19, III 23, III 25, III 26, III 28] 
quoiqu’on ait souvent l’occasion d’y faire des énumérations. 
164) Reale Ist. Lombarde, Rendic. (2) 36 (1903), p. 495 [cf. note 152]. H. G. 
Zeuthen [Lebrbuch 1 ), n os 95 à 97] a démontré les formules de F. Severi en ap 
pliquant les méthodes énumératives qui l’avaient conduit 160 ) à la détermination 
des nombres P et J. Dans son mémoire [Math. Ann. 4 (1871) p. 48] il avait déjà 
envisagé la représentation plurivoque d’une surface sur un plan [cf. R. Baldiis, 
note 120].