M. Pieri. 
H. G. Zeuthen 1G5 ) a aussi démontré une formule donnant le genre d’un 
système de courbes planes en fonction des nombres inhérents à ces 
courbes et à leur enveloppe; et il en tire profit pour quelques déter 
minations de géométrie énumérative relatives aux enveloppes. 
Introduction successive de plusieurs conditions; 
calcul symbolique 166 ). 
20. Systèmes de courbes; l’indice jonquiérien. Dans l’.étude des 
systèmes de lignes, W. Braïkenridge 13 ) avait déjà montré comment on 
passe peu à peu de questions très simples à d’autres plus compliquées 
en remplaçant simplement les droites figurant dans les questions simples 
par des courbes [n° 4]. Un procédé si naturel pour la recherche du 
nombre de courbes qui satisfont à plusieurs conditions données ne 
pouvait échapper àVi Steiner 167 ) qui connaissait en effet déjà le nombre 
m(m + 2n — 3) 
des courbes C n appartenant à un même faisceau d’ordre n et tangentes 
à une même courbe C m du m ième degré 168 ). Ce même procédé fut en 
suite employé par divers auteurs que la communication des résultats 
obtenus par J. Steiner avait incités à ces sortes de recherches. 
Le nombre précédent fut trouvé algébriquement par J. N. Bischoff 169 170 ) 
qui avait remarqué que la condition de contact est de degré 
m(m + — 3) 
par rapport aux coefficients de la courbe C n . J. N. Bischoff en con 
clut que le nombre des courbes d’ordre n ayant un simple contact 
avec plusieurs courbes données G , C m , ... et assujetties à passer par 
des points fixes en nombre convenable était donné par le produit 
JJm i (m i -f 2n — 3). 
(») 
Et en opérant ainsi, il parvient à d’autres déterminations encore. 
Le même procédé fut aussi employé mais sous forme géométrique 
par J. Ph. E. de Fauque de Jonquières 17 °). Si g désigne le nombre des 
166) C. R. Acad. sc. Paris 78 (1874), p. 274, 339; Lehrbuch 1 ), n os 79 à 83. 
166) Cf. III19. 
167) Yoir n° 6, notes 34 et 35. 
168) J. reine angew. Math. 47 (1854), p. 6; Werke 2, Berlin 1882, p. 500. 
J. Steiner assigne de même l’ordre du lieu des contacts entre courbes de deux 
faisceaux [cf. note 49 et l’article III 19]. 
169) J. reine angew. Math. 56 (1859), p. 166. 
170) J. math, pures appl. (2) 6 (1861), p. 113.