20. Systèmes de courbes; l’indice jonquiérien. 
courbes d’un système oo 1 qui passent par un point donné, il trouva 
que, dans plusieurs cas, le nombre des courbes du système assujetties 
à remplir encore une autre condition simple était égal à a fi, le coeffi 
cient a dépendant exclusivement de la condition donnée. Il appella 
„indice“ du système le nombre désigné ici par fi. 
En remplaçant les points fixes du système par d’autres conditions, 
il pouvait, en s’appuyant sur ce résultat supposé général, trouver le 
nombre des courbes qui satisfont à plusieurs conditions de la nature 
indiquée. C’est en raisonnant ainsi qu’il crut avoir démontré la formule 
de J N. Bischoff. Mais, après avoir reconnu que cette formule n’était pas 
applicable dans certains cas, il ne réussit ni à donner la raison de cet 
écart, ni à indiquer les restrictions nécessaires pour qu’elle restât vraie. 
M. Chasles 171 172 173 ) aussi se trompa lorsqu’il voulut donner cette ex 
plication. L’erreur ne provenait d’ailleurs pas seulement de l’hypothèse 
inexacte faite par J. Ph. E. de Fauque de Jonquières, que chaque système 
ayant fi pour indice doit toujours pouvoir être représenté au moyen 
d’une équation dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de 
degré fi d’un paramètre. L’inexactitude de cette hypothèse de J. Ph. 
E. de Fauque de Jonquières fut relevée par G. Battaglini 17S ) qui établit 
que les coefficients en question sont, plus généralement, des fonctions 
rationnelles de deux paramètres liés entre eux par une équation algé 
brique m ). 
La véritable raison des inexactitudes observées en appliquant la 
formule de J. N. Bischoff fut découverte par L. Cremona lorsqu’il 
dirigea son attention sur les droites doubles renfermées dans un système 
de coniques 174 ). La formule de J. N. Bischoff ne cesse jamais d’être 
vraie pourvu que l’on se tienne rigoureusement aux conséquences du 
fait que la courbe G y est envisagée comme un lieu de points du 
w ième ordre [n° 3] et, par suite, que l’on n’oublie pas de ranger parmi 
les points de contact tout point où se confondent deux points d’inter 
section de deux courbes, et qu’alors le nombre cherché reste fini. 
Ainsi le nombre 8, que la formule de J. N. Bischoff nous donne 
dans le cas des coniques passant par deux points et tangentes à trois 
171) Voir n° 13, note 99. 
172) Rendic. Accad. Napoli (1) 2 (1863), p. 149. 
173) Ainsi, dans des recherches postérieures, on a pu représenter tout système 
oo 1 par une courbe plane, ce qui a permis de ramener la détermination des 
courbes ou surfaces d’un système qui vérifient des conditions données à celle des 
points qui leur correspondent sur une courbe plane image du système [n° 31 
note 241 et n° 33]. 
174) Giorn. mat. (1) 2 (1864), p. 17.