306 S. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
avec une surface arbitraire, les nombres a, ¡3, y deviennent respective 
ment la classe, le rang et l’ordre de cette surface. 
Pour établir en partant de là une détermination complète du 
nombre des courbes ou des surfaces qui vérifient à la fois plusieurs 
conditions de cette nature, il suffisait d’obtenir les caractéristiques des 
systèmes élémentaires. C’est ce que fit plus tard M. Chasles 18 *) pour 
les surfaces du second degré, après qu’il eût établi les nombres corres 
pondants pour les coniques dans l’espace. 
On verra plus loin [n° 31] que le nombre des courbes ou celui 
des surfaces du second ordre (pour ne parler que de celles-là) qui 
vérifient une condition donnée, en même temps qu’elles appartiennent 
à un système oo 1 donné, ne peut pas toujours être représenté par une 
expression de la forme 
au fiv 
ou de la forme 
ayi -f- /3v + yp. 
Toutefois, la méthode de l’introduction successive des conditions im 
posées et, à cet effet, la recherche des caractéristiques de toutes sortes 
184) C. R. Acad. sc. Paris 62 (1866), p. 405; 61 (1865), p. 389. 
Pour une détermination différente de ces mêmes caractéristiques, ainsi que 
d’autres caractéristiques, voir n os 27 à 30. 
G. Salmon [Quart. J. pure appl. math. 8 (1867), p. 1] s’est aussi occupé de 
ces mêmes déterminations. D. Montesano [Atti Accad. Torino 27 (1891/2), p. 660; 
Atti del quarto congresso internazionale dei matematici in Roma 1908, publ. par 
G. Castelnuovo 2, Rome 1909, p. 231; K. Akad. Wetensch. Amsterdam, Vers- 
lagen natuurk. Afdeeling 20 (1910/1), p. 584; Atti Accad. sc. fis. mat. (Naples) (2) 
15 (1913), mém. n° 8 [1911]]; G. Humbert [J. Éc. polyt. (1) cah. 64 (1894), p. 123]; 
J.deVries [K. Akad. Wetensch. Amsterdam, Verslagen natuurk. Afdeeling 13 (1904/5), 
p. 281, 355] et L. Godeaux [Acad. Belgique, Bull, classe sc. 10 (1908), p. 597, 812; 
11 (1909), p. 499; Nouv. Ann. math. (4) 9 (1909), p. 312] s’occupent de différents 
complexes et congruences de coniques. 
A. A. HalJmisen [Diss. Utrecht 1905] utilise le principe de la conservation 
du nombre pour déterminer certains nombres de coniques dans l’espace; c’est 
au fond le même procédé que celui qui avait été déjà employé dans un cas 
plus général [cf. n° 8, note 51]. 
Le nombre des coniques qui rencontrent huit droites données a été déterminé 
par J. Lüroth [J. reine angew. Math. 68 (1868), p. 185] et par J. de Vries [K. Akad. 
Wetensch. Amsterdam, Yerslagen natuurk. Afdeeling 10 (1901/2), p. 192] d’une 
façon différente de celle dont M. Chasles avait fait usage dans les deux com 
munications des C. R. citées au début de cette note 184. 
Voir aussi, pour certains cas où l’on suppose encore que d’autres conditions 
soient vérifiées, M. Stuyvaert, Mém. couronnés Acad. Belgique in-8°, classe sciences 
62 (1902/3), mém. n° 2; Thèse, Gand 1902, chap. 1; J. Klobouceh, Sitzgsb. bôhm. 
Ges. Prag 1908, mém. n° 13.