310 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
l’applique une seule fois à un système ex» 1 de couples de points [p, q), 
il donne le nombre s des coïncidences ou points doubles du système 
par la formule (déjà employée ailleurs) 
£ = p + q-g, 
où p désigne le nombre de couples dont les éléments (jt) se trouvent 
dans un plan donné; et q désigne le nombre de couples dont les élé 
ments (g) se trouvent dans un plan donné; enfin g désigne le nombre 
de couples pour lesquels la droite joignant les deux éléments {p, q) 
rencontre une droite donnée. 
Les formules qu’on peut tirer de là renferment les deux prin 
cipes de correspondance du plan et de l’espace [n° 16]; et depuis 
1876 elles remplacent généralement dans les recherches de H. Schubert 
les applications immédiates du principe de correspondance [n° 13]. 
H. Schubert 191 ) envisage aussi d’une manière analogue les coïncidences 
multiples dans un groupe de points d’une droite mobile, de même 
que L. Saltel pour une droite fixe [n° 15, note 117]; et il utilise les 
formules ainsi obtenues pour en déduire une détermination nouvelle 
des nombres relatifs aux tangentes singulières d’une surface, nombres 
qu’il avait auparavant déterminés par les formules de coïncidence 
simples [n° 14, note 113]. De même il emploie les formules de coïnci 
dence pour un groupe de n rayons appartenant à un même faisceau 
variable, dans la recherche des singularités d’un complexe de droites 192 ). 
H. Schubert est même allé plus loin dans la construction systé 
matique des formules; en multipliant certaines formules d’incidence et 
de coïncidence relatives au triangle, il obtient 193 ) des formules donnant 
des relations entre les nombres des triangles déterminés par certaines 
conditions données et les nombres des triangles dégénérés en d’autres 
figures plus simples. C’est en appliquant ces formules aux triangles 
engendrés par trois points consécutifs d’une courbe qu’il a pu résoudre 
plusieurs questions élevées de contact [cf. note 49]. 
26. Nombres fondamentaux et formules d’incidence et de 
coïncidence de l’espace à n dimensions. Pour étendre avec succès 
le calcul symbolique et la représentation générale énumérative qui en 
découle aux espaces à plus de trois dimensions, il est avant tout né 
cessaire de connaître les nombres fondamentaux relatifs à cet espace. 
C’est cette dénomination qu’adopte H. Schubert 194 ) pour désigner, dans 
191) Math. Ann. 12 (1877), p. 180; Abzâhlende Geom. 47 ), p. 228. 
192) Math. Ann. 12 (1877), p. 202. 
193) Id. 17 (1880), p. 153. 
194) Id. 26 (1886), p. 26. H. Schubert [Mitt. math. Ges. Hamburg 3 (1891/1900),