II. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
à un espace à plusieurs dimensions; et par là il trouve numériquement 
combien, dans un espace à quatre dimensions, de coniques, de sur 
faces ou d’hypersurfaces sont déterminées par des conditions élémen 
taires. Plus tard 218 ), en se plaçant à un point de vue plus général, il 
ne se borne plus à déterminer de proche en proche, pour des 
valeurs de n, z x , # 2 , . . ., le nombre des quadriques vérifiant z x fois 
la condition Z x , z % fois la condition Z 2 , . . ., dans un espace à n 
dimensions: il donne aussi l’expression générale de ces nombres en 
fonction de n, z x , # 2 , . . et cela pour des quadriques à autant de 
dimensions que l’on veut. 
29. Systèmes formés par des courbes d’ordre supérieur. Le 
calcul des caractéristiques au moyen du dénombrement des divers élé 
ments singuliers ou dégénérés du système a même été abordé dans 
le cas des systèmes élémentaires de courbes planes du troisième degré 
par S. N. Maillard 219 ) et H. G. Zeuthen 220 ) et dans celui des systèmes 
élémentaires de courbes planes du quatrième degré par H. G. Zeuthen 221 ),. 
ainsi que dans le cas des systèmes de cubiques gauches par R.Schubert 222 ). 
Il fallait procéder de proche en proche. Parmi les espèces parti 
culières de courbes du quatrième ordre, par exemple, il y a les quar- 
218) Mitt. math. Ges. Hamburg 3 (1891/1900), éd. Leipzig 1900, p. 12 [1891];. 
Math. Ann. 45 (1894), p. 153. 
*On y apprend à déterminer, par exemple, en fonction de « et de 2, le 
nombre de quadriques à ^ — 1 dimensions qui sont tangentes à 
"(2 + 1) —i2(2 —1) 
espaces donnés à n — 1 dimensions, le tout dans un espace \n\. Ce nombre a 
été utilisé plus tard par C. Segre^ 1 ).* 
Dans un espace à quatre ou à cinq dimensions, P. H. Schoute [Yerhand. 
Akad. Wetensch. Amsterdam, Afd. Natuurk. eerste Sectie (2) 7 (1899/1901), mém. 
n° 4] et A. T. Toxopeus [id. (2) 9 (1905/8), p. 1] ont donné plus tard d’autrea 
solutions fondées d’ailleurs sur les mêmes procédés énumératifs. 
219) Thèse, Paris 1871. 
220) C. R. Acad. sc. Paris 74 (1872), p. 521, 664, 726. 
221) K. Danske Yidenskab. Selsk. (Naturv. math. Afhandl.) (5) 10 (1872/3) r 
p. 287 [cf. n° 14, note 107]. 
222) Abzâhlende Geom. 47 ), p. 163. En suivant une marche différente, B.Sturm 
[J. reine angew. Math. 79 (1875), p. 99; 80 (1875), p. 128] avait obtenu, presque 
simultanément, plusieurs de ces résultats. 
E. Veneroni [Rend. Cire. mat. Palermo 16 (1902), p. 209], M. Stuyvaert [C. R. 
Acad. sc. Paris 141 (1905), p. 750/2; J. reine angew. Math. 132 (1907), p. 216/37 
[1906]; Mém. Soc. sc. Liège (3) 7 (1907) mém. n° 2, p. 94/120 [1906]], J.deVries 
[K. Akad. Wetensch. Amsterdam, Verslagen natuurk. Afdeeling 17 (1907/8), p. 2; 
20 (1910/1), p. 197] et L. Godeaux [Acad. Belgique, Bull, classe sc. 10 (1908), 
p. 531; Nouv. Ann. math. (4) 8 (1908), p. 31] ont envisagé certains systèmes 
oo 2 de cubiques gauches.