80. Couples de figures liées par une correspondance. 
317 
tiques à un seul point double; par suite la recherche des caractéristiques 
pour les systèmes de quartiques à un seul point double doit précéder 
la recherche des caractéristiques pour les systèmes de quartiques géné 
rales. A son tour, la première résulte d’une détermination analogue 
pour les quartiques à deux points doubles ou à un point de rebrousse 
ment; et ainsi de suite. On peut dire la même chose au sujet des 
cubiques gauches. H. Schubert a dû, pour ce cas, subordonner le problème 
à la recherche du nombre des cubiques planes à un point double ou 
de rebroussement pour lesquelles la position des points singuliers et 
des tangentes singulières était assujettie à des conditions spéciales 223 ). 
Dans tous les travaux précédents les relations entre les caracté 
ristiques et les différents nombres de courbes ou de surfaces dégéné 
rées du système sont établies le plus souvent à l’aide du principe de 
correspondance: ce qui permet d’en déterminer les coefficients par les 
deux procédés (direct ou indirect) indiqués au n° 14. 
L’emploi du dernier devient possible parce que, dans la plupart 
des cas, un même nombre figure comme k n d’un système et v d’un 
autre système. Pour appliquer le premier procédé, il faut se procurer 
tout d’abord les ordres infinitésimaux dans le voisinage des courbes 
singulières du système. Inversement, ces ordres pourront se déduire 
des coefficients déterminés par la dernière méthode. On parvient 
ainsi, en général, à se former une idée des courbes singulières con 
tenues dans le système, et en particulier des courbes à branches 
multiples 224 ). 
30. Couples de figures liées par une correspondance. Ainsi 
que T. A. Hirst 225 ) l’a observé, les formules du n° 27 sont vérifiées 
aussi pour tout système co 1 , dont chaque élément est l’ensemble de deux 
figures réciproques (corrélatives) planes; ¿a et v désignent alors les 
nombres de couples déterminés par deux points conjugués, c’est-à-dire 
223) Math. Ann. 13 (1878), p. 429 ; Abzählende Geom. 47 ), p. 106. 
224) Quelques exemples isolés de telles courbes se rencontrent déjà dans 
M. Chasles, J. Maillard de la Gournerie, A.Cayley, L. Cremona, W.Crofton et 
T. A. Hirst [G. R. Acad. sc. Paris 64 (1867), p. 799, 1079; Proc. London math. Soc. 
(1) 2 (1866/9), p. 45 [1867], et aussi (avec quelques inexactitudes) G. R. Acad. sc. 
Paris 74 (1872), p. 708; Messenger math. (2) 1 (1872), p. 178]; A. Cayley, Papers 8, 
-Cambridge 1895, p. 258, 526. 
225) Proc. London math. Soc. (1) 5 (1873/4), p. 40; Ann. mat, pura appl. 
(2) 6 (1873/5), p. 260. 
B. Sturm [Geom. Verwandtschaften 52 ) 2, p. 233/346; 3, p. 422/517] a exposé 
cette théorie d’une façon très complète. Il a étendu aux collinéations les pro 
cédés d’énumération des corrélations.