31. Systèmes du second degré. 
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exemples, où la détermination d’une conique singulière est subordonnée, 
pour des valeurs convenables de m et n, à la connaissance de la limite 
x m * ^ 
du rapport } x étant le segment déterminé sur une droite donnée 
par une conique du système infiniment voisine de la conique consi 
dérée, et y le sinus de l’angle des tangentes de la même conique qui 
passent par un point donné, quantités qui deviennent toutes deux nuiles 
pour une dégénérescence de G. H. Halphen. L’ancienne théorie qui n’a 
égard qu’aux A coniques singulières correspondant à x = 0 et aux te 
coniques singulières correspondant à y = 0 était donc incomplète 240 ). 
G. H. Halphen 241 ) a montré ensuite que toute exception ne ren 
trant pas dans l’expression ce y + /3v provient ainsi d’une conique dé 
générée de la nature indiquée par lui; de sorte que cette expression 
ccy -f /3v demeure applicable toutes les fois que le système ne contient 
pas de telles singularités ou que ces singularités sont incompatibles 
avec la condition donnée. En ce qui concerne les autres cas, il donna 
exactement les modifications qu’amène dans la formule l’existence d’une 
conique ainsi singularisée. Comme la fraction peut prendre une 
infinité de valeurs, le nombre de solutions n’est pas toutefois susceptible 
d’être exprimé par une formule générale à un nombre fini de termes. 
De plus G. H. Halphen 242 ) a rattaché à ces principes une déter 
mination tout à fait générale du nombre des coniques qui vérifient à 
la fois cinq conditions arbitraires indépendantes. 
Enfin G. H. Halphen 243 ) a trouvé aussi une modification analogue 
240) Voir aussi H. Schubert, Bull. Soc. math. France 8 (1879/80), p. 61; H. G. 
Zeuthen et E. Siudy, Math. Ann. 37 (1890), p. 461; 40 (1892), p. 659; 41 (1893), 
p. 539; V. G. Aleksèev, ücenija Zapiski moskovskago Universiteta, Otdèl fisiko- 
matematiceskij, cah. 10 (1893), mém. n° 4. Voir aussi note 244. 
241) Proc. London math. Soc. (1) 9 (1877/8), p. 149; Math. Ann. 15 (1879), 
p. 16; J. Éc. polyt. (1) cah. 45 (1878), p. 27/89. 
Pour la démonstration, il représente le système en question par une courbe 
dont les points d’intersection avec une autre courbe lui donnent les coniques cher 
chées [n° 20, note 173]. Celles de ces intersections qui coïncident avec l’origine 
des coordonnées correspondent aux coniques dégénérées de G. H. Halphen. 
E. Study [Math. Ann. 40 (1892), p. 551] envisage les mêmes questions à 
l’aide d’une représentation des coniques du plan par les points d’un espace à 
cinq dimensions. 
H. G. Zeuthen [Lehrbuch 1 ), 167/78] a donné une nouvelle exposition, 
basée sur des méthodes énumératives, de la théorie de G. H. Halphen sur la 
possibilité ou l’impossibilité d’appliquer la formule ocy-pP v à des systèmes de 
coniques et a étudié de même le cas de systèmes de quadriques [id. n°‘ 179/85]. 
242) Proc. London math. Soc. (1) 10 (1878/9), p. 76. 
243) J. Éc. polyt. (1) cah. 45 (1878), p. 76. 
Bnoyclop des soieno. mathémat. III 1. 
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