82. Autres caractéristiques. 
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sur la possibilité de représenter une courbe algébrique plane douée 
de singularités tout à fait arbitraires au moyen des nombres de Plücker 
et des équivalents plückériens des singularités supérieures [n° B, note 11], 
ainsi que l’extension de ces recherches à l’espace 250 ). Il parvient aux 
résultats suivants: on peut représenter, au moyen de ces nombres, 
par une expression de la forme (1) à deux termes le nombre des 
points où une courbe algébrique donnée satisfait à une équation diffé 
rentielle projective du premier ordre ne dépendant pas de la courbe 251 ); 
et par une expression semblable à trois ou quatre termes, suivant que 
la courbe est plane ou gauche, le nombre analogue pour le cas d’une 
équation du deuxième ordre. Mais lorsqu’il s’agit d’une équation diffé 
rentielle du troisième ordre, on ne peut plus construire une expression 
de ce genre à un nombre fini de termes, qui puisse demeurer valable 
pour tous les cas 252 ). 
H. Schubert 253 ), à qui l’on doit la conception qu’exprime l’équa 
tion (1) du problème des caractéristiques, a donné des théorèmes 254 ) 
sur les caractéristiques relatives aux figures suivantes: 
1°) point et droite incidents; 
2°) faisceau de rayons; 
3°) point, droite et plan, le point étant situé sur la droite et 
celle-ci dans le plan; 
4°) groupe de n points en ligne droite avec la droite qui les 
porte; 
5°) système formé par un faisceau de rayons associé avec n de 
ses éléments; 
250) Bull. Soc. math. France 6 (1877/8), p. 10. 
251) C’est un résultat compris dans une extension due à G. Fouret de la 
formule de contact de M. Chasles [n° 34, note 279]. 
252) Un exemple assez simple en est fourni par la développée d’une courbe 
plane ((7). La développée n’a pas en général de tangente stationnaire, mais elle 
en acquiert toutes les fois que sur la courbe (C) un point double confondu avec 
un point de rebroussement donne naissance à un point de rebroussement de 
seconde espèce. Or cela entraîne toujours un changement dans le nombre des 
points de rebroussement de la développée, c’est-à-dire à l’égard de points dont 
les hoxnol gués sur la courbe (C) sont déterminés par une équation différentielle 
du troisième ordre. Cela explique, d’après le théorème de G. H. Halphen que 
l’on vient d’énoncer, que leur nombre peut changer sans que les nombres plückériens 
de la courbe donnée soient altérés. 
253) Nachr. Ges. Gôtt. 1877, p. 401. A la même époque, M. Chasles et 
G. Fouret ont publié quelques propositions analogues quoique d’un caractère 
moins général [C. R. Acad. sc. Paris 85 (1877), p, 362, 460 et aussi id. 86 (1877), 
p. 134 216, 844, 944]. 
254) Abzahlende Geom.* 7 ), p. 289. 
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