324 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
6°) le triangle, qu’il n’envisagea que plus tard 255 256 ). 
Il n’y a cependant de formules absolument générales que dans 
les trois premiers cas; puisque dans les cas 4°), 5°) et 6°) la présence 
de deux grandeurs qui peuvent s’évanouir à la fois amène des consé 
quences analogues à celles impliquées par le même fait dans les sys 
tèmes de coniques 256 ). On peut aussi regarder comme un théorème re 
latif aux caractéristiques la formule de A. Hurwitz donnant le nombre 
des coïncidences qui ont lieu dans une correspondance singulière sur 
une courbe algébrique [n° 17, note 134]. 
Appendice. 
33. Établissement de nouveaux liens entre la géométrie 
énumérative et l’algèbre. Comme on l’a déjà remarqué [n° 1], la 
géométrie énumérative n’opère que sur les degrés des équations algé 
briques; et cependant l’indépendance toujours croissante des méthodes 
et l’abstraction toujours plus grande de ses problèmes qui se rappor 
tent maintenant à des figures à autant de dimensions que l’on veut 
accroissait toujours la difficulté de conserver les liens existant entre 
les expressions numériques cherchées ou trouvées et les équations 
auxquelles elles se rapportent. Or le maintien de cette liaison intime, 
en nous rappelant toujours le point de départ et la vraie nature des 
théories énumératives, est sans contredit un élément de la plus haute 
importance pour le succès de ces théories. C’est grâce à cette liaison que 
les recherches énumératives ont pu acquérir l’abondance et aussi la 
certitude des résultats trouvés; et c’est encore elle qui, inversement, 
nous permet d’interpréter algébriquement ces résultats, et par suite 
de les transporter d’un domaine géométrique à un autre pour en dé 
duire sur le champ la solution d’autres questions géométriques relevant 
des mêmes équations. Aussi, même dans ces derniers temps, a-t-on 
cherché à rétablir ces liens et à les renforcer 357 ). 
255) Math. Ann. 17 (1880), p. 153. Cf. note 193. 
256) Pour ce qui concerne les deux cas 4°) et 6°), voir les remarques de 
G. H. Halphen [Bull. Soc. math. France 8 (1879/80), p. 31] et de H. Schubert [id. 
8 (1879/80), p. 601. Pour le cas 6°), H. Schubert avait, dès le début, ajouté lui- 
même les limitations nécessaires. 
267) Grâce à la variété des aspects et à la jrichesse d’interprétation qui 
caractérisent l’objet des recherches mathématiques, les occasions d’envisager une 
même question aux deux points de vue géométrique et algébrique sont très fré 
quentes. On peut citer ici, dans cet ordre d’idées, M. Caspar [Math. Ann. 59 
(1904), p. 517] qui aborde, en se plaçant à un point de vue algébrique, des 
questions analogues à celles dont on va parler dans ce chapitre.