330 H. G. Zeuthen. III 4. Géométrie énumérative. M. Pieri. 
84. Applications à des problèmes transcendants. Les propriétés 
des systèmes de courbes ou de surfaces algébriques qui ne dépendent 
pas du degré de celles-ci subsistent encore pour les systèmes de 
courbes ou de surfaces transcendantes, que l’on définit au moyeu 
d’équations différentielles algébriques. Par là, les méthodes énumé- 
ratives s’appliquent aux „connexes“ de A. Clehsch 278 ) représentés par 
une équation différentielle algébrique du premier ordre entre deux 
variables (III C, 10). A un tel système de courbes planes algébriques 
ou transcendantes on peut toujours affecter les caractéristiques ordi 
naires fi et v [n° 2 ’2], ainsi que l’a fait G. Four et 2 ™) en utilisant celles- 
ci pour la résolution de plusieurs problèmes. Le système de surfaces 
défini par une équation algébrique aux dérivées partielles d’une fonc 
tion de deux variables indépendantes, est appelé par lui 280 ) un «implexe 
de surfaces»; il le caractérise par les nombres et cp de surfaces 
tangentes à une droite donnée en un point donné, ou bien tangentes 
à un plan donné en un point quelconque d’une droite donnée du 
plan; et, au moyen de ces deux caractéristiques, il exprime le nombre 
de fois qu’une surface quelconque de l’implexe satisfait à des con 
ditions algébriques données. Un système à caractéristiques ordinaires 
fi, v, q [n° 22 ] de surfaces algébriques ou transcendantes est déter 
miné par G. Fouret 281 282 ) par certains faisceaux d’implexes. Il a poursuivi 
ensuite les recherches énumératives fondées là-dessus, jusqu’à pouvoir 
en tirer parti dans quelques problèmes d’intégration. 
Des recherches analogues à celles de H. Schubert sur les tangentes 
singulières d’une surface algébrique 112 ) ont été effectuées par A. Foss 2SS ) 
pour les tangentes d’un système rationnel de points-plans, défini par 
une équation différentielle. 
Ces sortes de recherches peuvent donner des critères servant à 
278) Math. Ann. 6 (1873), p. 203; A. Clebsch, Geom. 1S4 ) 1, p. 926. 
Dans les théorèmes de- G. H. Halphen concernant la détermination de points 
sur une courbe à l’aide d’une équation différentielle [u° 32 notes 249 et 250] il 
est tout à fait indifférent que cette équation soit, ou non, intégrable algébri 
quement. 
279) C. R. Acad. sc. Paris 78 (1874), p. 831, 1693, 1837; Bull. Soc. math. 
France 2 (1873/4), p. 72, 96. 
280) C. R. Acad. sc. Paris 79 (1874), p. 467, 689. 
281) Id. 80 (1875), p. 167. 
282) Math. Ann. 23 (1884), p. 359. Tout système de cette espèce rentre 
d’ailleurs parmi les systèmes de faisceaux de rayons envisagés à un autre point 
de vue par H. Schubert [n 08 25 et 32]. Voir aussi les recherches de R. Stunn 
[Math. Ann. 28 (1887), p. 277] sur les corrélations nulles (systèmes focaux) d’ordre 
quelconque.