üiMliS 
*~V ' ■ * 
MÊmBSÊSS 
Xi ■>„ 
'ï. " 
■■■■■•.■••■■ 
1. Transformations. 
d’équations 
(!) < = /¡(ai, **, •••,«•) (¿ = 1,2,..., n), 
dans lesquelles les variables xf, æ 2 ',. .., x n ' sont les transformées des vari 
ables x t , x 2 ,..x n . Les fonctions f. sont supposées définies dans cer 
tains domaines, et la transformation n’existe qu’autant que les vari 
ables x 1} x 2 , ■. x n appartiennent à ces domaines. Si les f. sont des 
fonctions analytiques de leurs arguments, la transformation est dite 
analytique; les transformations analytiques comprennent, comme cas 
particuliers, les transformations algébriques, rationnelles, birationnelles, 
linéaires, etc. Les équations obtenues en résolvant, quand cela est 
possible, les équations (1) par rapport aux x t définissent ce qu’on ap 
pelle la transformation inverse de la transformation considérée. 
Au point de vue géométrique, on pourra regarder les x comme 
les coordonnées, dans un certain espace (ou dans une portion seulement 
de cet espace), de certaines figures (points, droites, plans, sphères, etc.); 
les x pourront de même être regardées comme les coordonnées dans 
un autre espace (ou dans le même) d’autres figures. Les équations (1) 
définissent alors une transformation, c’est-à-dire une correspondance 
entre les premières figures et les dernières. Celles-ci pourront être 
de même nature que les premières, mais aussi de nature différente. On 
obtiendra ainsi, suivant les cas, une transformation ponctuelle (établis 
sant une correspondance entre des points et des points), une trans 
formation de contact (celles par exemple qui établissent une correspon 
dance entre les éléments linéaires de deux plans ou entre les éléments de 
surface de deux espaces, de manière que deux éléments infiniment voisins 
unis soient changés en deux éléments infiniment voisins unis), une trans 
formation de point à plan (comme par exemple une transformation 
par polaires réciproques), etc. 
Si une figure correspond, par une transformation donnée, à une 
autre figure, on peut déduire, au moyen de cette transformation, de 
chaque propriété de la première une propriété correspondante de la 
seconde: c’est ainsi que les transformations par polaires réciproques 
ont servi à déduire le théorème de Brianchon du théorème de Pascal 4 ). 
Si les deux figures sont de même nature, il peut arriver que certaines 
propriétés de la première se retrouvent dans la seconde, autrement 
dit soient conservées par la transformation: ces propriétés sont dites 
invariantes vis-à-vis de cette transformation. 
Plus généralement on peut avoir à considérer, non plus une, mais 
tout un ensemble de transformations d’une certaine espèce faisant 
4) Jdh. J. Brianchon, J. Éc. polyt. (1) cah. 13 (1806), p. 297/311.