334 G. Fano. Ill 5. La théorie des groupes continus et la géométrie. F. Cartan. 
correspondre les uns aux autres toute une classe d’êtres géométriques. 
L’étude des propriétés de ces figures qui sont invariantes vis-à-vis 
des transformations considérées pourra se faire alors sur une figure 
seulement de la classe, qui pourra ainsi, à ce point de vue, être re 
gardée comme représentant la classe. En se plaçant au point de 
vue moderne on doit envisager les figures géométriques comme 
variables et on n’étudiera leurs propriétés qu’autant qu’elles sont con 
servées par certaines transformations. 
Parmi les ensembles de transformations d’une espèce donnée, 
certains jouent un rôle prépondérant: ce sont les groupes de trans 
formations. 
2. Groupes de transformations. Leur classification. On dit 
qu’un ensemble de transformations, en nombre fini ou infini, consti 
tue un groupe lorsque la transformation que l’on obtient en effectuant 
successivement (si cela est possible) deux transformations quelconques 
de l’ensemble (transformation résultante ou transformation 'produit) est 
encore une transformation de l’ensemble. 
La notion de groupe s’applique non seulement aux transformations 
définies plus haut, mais encore à toute espèce d'opérations de quelqne 
nature qu’elles soient, arithmétique, analytique, géométrique ou autre. 
Cette notion intervient en mathématiques, comme l’a fait remarquer 
H. Foincaré, dès les premières spéculations géométriques; mais elle 
s’est affirmée explicitement pour la première fois dans la théorie des 
substitutions, en particulier dans la théorie de Galois des équations al 
gébriques [113], où il s’agit d’opérations portant sur un nombre fini 
d’objets ou d’éléments. Plus tard la notion de groupe s’introduisit dans 
la théorie des invariants des substitutions linéaires [I 11] et dans ses 
applications à la théorie des nombres [1,16] et à la géométrie [1118]. 
Les travaux de C. Jordan 5 6 ) mirent en évidence la grande portée de 
la notion de groupe, dépassant de beaucoup les premières applications 
qui en avaient été faites. F. Klein*) et S. Lie 7 ) firent de la théorie 
5) Voir les applications que fait C. Jordan [Traité des substitutions et des 
équations algébriques, Paris 1870, p. 452 (livre 3)] de la théorie des groupes à des 
problèmes de géométrie et à la théorie des fonctions; voir aussi C. Jordan, Mémoire 
sur les groupes de mouvements [Ann. mat. pura appl. (2) 2 (1868/9), p. 167, 322]. 
6) Voir en particulier de nombreux articles [Nachrichten Gesellschaft Göt 
tingen et Mathematische Annalen] ainsi que les traités suivants: Vorlesungen über 
das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichung vom fünften Grade, Leipzig 1884; 
Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, publ. par 
B. Fricke 1, Leipzig 1890; 2, Leipzig 1892; Über die hjpergeometrische Funk 
tion (autographié), Göttingue 1894; (reproduit Göttingue 1906); Vorlesungen über 
lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung (autographié) Göttingue 1894;